CSDN 编程竞赛第五期题解

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退役竞赛选手出来混个存在感，比赛链接，似乎 CSDN 要做成周赛了。

题目难度上比较简单，部分是原题，需要注意些细节。

赛途不允许切出屏幕和使用通讯软件，整体比较像笔试，偏向于考察应试技能，那么有原题也说得过去。

赛前出现长时间无法进入的情况，赛中编辑器和自助评测使用体验较差，例如代码模板对用户不友好（函数参数不一致、头文件配置不灵活等）、语法补全提示相关度忽高忽低、评测结果没有剔除 stderr 等。同天还有力扣周赛和百度之星初赛，它们所在平台在编辑和评测上的用户体验就好些。

题目分析

1. 寻因找祖

题意：求约数个数为 $n$ 的最小正整数 $x$，$n\le 1000$。

思路：（比较古老的原题，加强版见 SGU 473）

• 令 $x={\prod }_{i=1}^t{p_i}^{e_i}$ $(p_i<p_{i+1},p_i\text{ is prime})$，则它的约数个数 $\sigma (x)={\prod }_{i=1}^t(e_i+1)$，因此 $e_i$ 的范围被限制在 $(e_i+1)|n$。
• 如果两个数字的 { e i } \{e_i\} {ei​} 集合一样，那么它们的约数个数相同。
  • 对于一个固定的 { e i } \{e_i\} {ei​} 集合，考虑其对应的数字 $x$，如果存在 $e_i<e_{i+1}$，那么可以构造出一个更小的数字 $x^{\prime }={\prod }_{i=1}^t{p_i}^{{e^{\prime }}_i}$ 对应该集合，这里 ${e^{\prime }}_i=e_{i+1}$, ${e^{\prime }}_{i+1}=e_i$。
  • 对于一个固定的 { e i } \{e_i\} {ei​} 集合，最小的正整数 $x$ 一定只用到最小的 $t$ 个质数，且 $e_i\ge e_{i+1}$，否则总能通过调整得到更小的正整数 $x$。
• 接下来可以暴力搜索（可以手动验证状态不多）或者 DP，但考虑到 $n\text{ is prime}$ 时答案可能非常大（例如 $2^{996}$），不如直接暴力搜索。

代码：Python3

class Solution:
    def __init__(self) -> None:
        self.pr = [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31]
        self.ans = 1

    def dfs(self, dep, cur, rem, upp):
        if rem == 1:
            self.ans = min(self.ans, cur)
            return
        if dep >= len(self.pr):
            return
        for i in range(1, upp + 1):
            if i * i > rem:
                break
            if rem % i > 0:
                continue
            if i > 1:
                self.dfs(dep + 1, cur * (self.pr[dep] ** (i - 1)), rem // i, i)
            j = rem // i
            if i < j:  # j > 1
                self.dfs(dep + 1, cur * (self.pr[dep] ** (j - 1)), rem // j, j)

    def solution(self, n):
        self.ans = 10 ** 1000
        self.dfs(0, 1, n, n)
        return self.ans
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2. 通货膨胀-x国货币

题意：构造一个最长的正整数序列 $A=[a_1,a_2,\dots ,a_m]$，使得 $a_1=n$, $a_{i+1}|a_i$，输出 $m$ 的最大值。数据范围好像是 $n\le 10^9$。

思路：（比较古老的原题）

• 贪心构造即可，使每个 $\frac{a_i}{a_{i+1}}$ 为质数不会使解更差。令 $n={\prod }_{i=1}^t{p_i}^{e_i}$ $(p_i<p_{i+1},p_i\text{ is prime})$，则答案为 $1+{\sum }_{i=1}^t{e}_i$。

代码：C++

int solution(int n) {
    typedef long long LL;
    int result = 1;
    for(int i = 2; i <= n; ++i) {
        if((LL)i * i > n)
            i = n;
        for( ; n % i == 0; n /= i, ++result);
    }
    return result;
}
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3. 莫名其妙的键盘

题意：初始有一个空串 $S$，每次操作可以向其末尾增加一个小写字母，如果增加的字符是元音字符，则在增加后需要将 $S$ 反转，然后才视为此次操作结束。给定目标串 $T$，问有多少种操作方案能使 $S$ 在操作结束后变成 $T$。数据范围好像是 $|T|\le 100$。

思路：

• $S$ 在任意时刻必须是 $T$ 或 $T$ 的反转串的一个区间，那么记录 $S$ 变成每个区间的方案即可 DP 出最终答案，时间复杂度 $\mathcal{O}(|T{|}^2)$。

代码：C++

#include 
using namespace std;
int solution(std::string str){
    int n = str.size();
    vector<bool> sp(n);
    vector<vector<pair<int, int> > > dp(n, vector<pair<int, int> >(n));
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        dp[i][i] = {1, 1};
        char ch = str[i];
        sp[i] = ch == 'a' || ch == 'e' || ch == 'i' || ch == 'o' || ch == 'u';
    }
    for(int len = 2; len <= n; ++len)
        for(int L = 0, R = len - 1; R < n; ++L, ++R) {
            if(sp[L]) {
                dp[L][R].first += dp[L + 1][R].second;
            } else {
                dp[L][R].second += dp[L + 1][R].second;
            }
            if(sp[R]) {
                dp[L][R].second += dp[L][R - 1].first;
            } else {
                dp[L][R].first += dp[L][R - 1].first;
            }
        }
    return dp[0][n - 1].first;
}
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4. 三而竭

题意：给定正整数 $n$ 和 $k$，求最小的正整数 $x$ 使得 ${\sum }_{i\ge 0}\lfloor \frac{x}{k^i}\rfloor \ge n$。数据范围好像是 $n\le 10^9$, $2\le k\le 10$。

思路：（比较古老的原题）

• 函数 $f(x)={\sum }_{i\ge 0}\lfloor \frac{x}{k^i}\rfloor$ 单调递增，且 $f(n)\ge n$，二分即可，时间复杂度 $\mathcal{O}({\log }_{k}n{\log }_{2}n)$。
• 也可以做到 $\mathcal{O}({\log }_{k}n)$，留给读者自行探索。感兴趣可以来做下我出的题目 「LibreOJ β Round #5」最小倍数，提交的代码是公开的。

代码：C++

int solution(std::vector<int>& vec){
    int n = vec[0], k = vec[1];
    int L = 1, R = n;
    while(L < R) {
        int M = (L + R) >> 1;
        int ctr = 0, rem = M;
        for( ; ctr < n && rem > 0; ctr += rem, rem /= k);
        if(ctr < n) {
            L = M + 1;
        } else {
            R = M;
        }
    }
    return L;
}
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后续

别看了哪有下期啊。