人工智能·前缀和

学习的最大理由是想摆脱平庸，早一天就多一份人生的精彩；迟一天就多一天平庸的困扰。

学习日记

一、什么是前缀和

         前缀和是一个数组的某项下标之前(包括此项元素)的所有数组元素的和。 

设b[]为前缀和数组，a[]为原数组，根据这句话可以得到前缀和的定义式和递推式：

	定义式	递推式
一维前缀和
二维前缀和

二、一维前缀和 

        

        根据上面的定义，我们可以很容易得到 sum[i] = sum[i-1] + a[i] 　　

这样就可以得到前i个数的和。根据上述表达式我们可以以O(1)求出区间[i,j]的区间和     

 

一般用于求区间[L,R]之间元素的和:

ans[1]=ans[0]+q[1]

ans[2]=ans[1]+q[2]

……… ………

ans[i]=ans[i-1]+q[i]

[L,R]之间元素的和tmp=ans[R]-ans[L-1] 

三、二维前缀和练习

原数组q[ ][ ]

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	1	0	-1	0	2	0	0
2	1	0	0	1	2	1	1	0	0
3	2	1	1	3	1	-1	0	0	0
4	1	1	-1	0	-1	1	1	0	0
5	1	1	2	1	3	1	4	0	0
6	0	0	0	0	0	0	0	0	0
7	0	0	0	0	0	0	0	0	0

前缀和数组ans[ ][ ]

0	1	2	3	4	5	6	7	8
1	1	3	4	4	3
2	2	4	5	6	7
3	4	7	9	13	15
4	5				(i-1,j)
5	6			(i,j-1)	(i , j)
6
7

求ans[ ][ ] ans[I,j]=ans[i-1,j]+ans[I,j-1]-ans[i-1][j-1]+q[i][j]:

0	1	2	3	4	5	6	7	8
1
2		(x1-1,y1-1)		(x1-1,y2)
3			(x1,y1)
4
5		(x2,y1-1)		(x2,y2)
6
7

 

求指定矩形内元素和：

左上（x1,y1）                右下(x2,y2)

tmp=ans[x2][y2]-ans[x2][y1-1]-ans[x1-1][y2]+ans[x1-1][y1-1]