【概率论基础进阶】随机事件和概率-随机事件、事件间的关系与运算

一、随机试验

定义：对随机现象进行观察或实验称为随机试验，简称试验，记作$E$，它具有如下特点

1. 可以在相同的条件下重复进行
2. 每次试验结果可能不止一个，并且能事先明确试验所有可能结果
3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现

$2099$年清明节下雨不下雨这不属于随机试验，尽管$2099$年可能下雨也可能不下雨，但这种试验不能在相同的条件下重复进行，因此这不是随机试验

二、随机事件

定义：随机试验的每一可能结果称为样本点，记作$\omega$，由所有样本点全体组成的集合称为样本空间，记作$\Omega$

显然，样本点是组成样本空间的元素

定义：样本空间的子集称为随机事件，简称事件，常用字母$A,B,C$等表示

随机事件是由样本空间中的元素即基本点组成，由一个样本点组成的子集是最简单的事件，称为基本事件。因此，也可将随机事件看作是由基本事件组成

必然事件，不可能事件

三、事件的关系与运算

事件是一个集合，因而事件之间的关系与运算也是按照集合之间关系与运算的规则进行

$B$包含$A$：$B\supset A$
有$A\supset B\Rightarrow \bar{A}\subset \bar{B}$

$B$等于$A$：$A\supset B,B\supset A\Rightarrow A=B$

$A,B$的交/积：$A\cap B$或$AB$
事件的交可以推广到有限多个事件或可数无穷多个事件的情形
$$\bigcap _{i=1}^n{A}_i=A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n,\bigcap _{i=1}^{+\infty }{A}_i=A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n\cap \cdots$$

$A,B$互斥：$AB=\varnothing$
事件的互斥可以推广到有限多个事件或可数无穷多个事件的情形。
若$n$个事件$A_1,A_2,\cdots ,A_n$中任意两个事件均互斥，即$A_i{A}_j=\varnothing ,i\ne j,i,j=1,2,\cdots ,n$，则称这$n$个事件是两两互斥或两两互不相容
如果可数无穷多个事件$A_1,A_2,\cdots ,A_n,\cdots$中任意两个事件均互斥，即$A_i{A}_j=\varnothing ,i\ne j,i,j=1,2,\cdots ,n,cs$，则称这$n$个事件是两两互斥或两两互不相容

$A,B$的并/和：$A\cup B$
事件的并可以推广到有限多个事件或可数无穷多个事件的情形
$$\bigcup _{i=1}^n{A}_i=A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n,\bigcup _{i=1}^n{A}_i=A_1\cup A_2\cdots \cup A_n\cup \cdots$$

$A,B$对立/互逆：$\bar{A}=B$或$\bar{B}=A$

$A,B$的差：$A-B$
有$A-B=A\bar{B}$

$A-B=C\nRightarrow A=B\cup C$

关系：包含，相等，互斥，对立
运算：交，并，差

例1：从一批产品中每次抽一件不放回，如此抽取三次，用$A_i(i=1,2,3)$表示时间“第$i$次取到的产品为正品”

• 用文字叙述下列事件：$A_1{A}_2\cup A_2{A}_3\cup A_1{A}_3,\overline{A_1}\cup \overline{A_2}\cup \overline{A_3}$
• 用$A_1,A_2,A_3$表示下列事件：至少取到两件次品，最多取到两件正品

$A_1{A}_2\cup A_2{A}_3\cup A_1{A}_3$意为至少取到两件正品或最多取到一件次品
$\overline{A_1}\cup \overline{A_2}\cup \overline{A_3}$意为至少取到一件次品或至多取到两件正品

在集合运算里，应该按从左到右的顺序进行，需要提前运算的部分应该用括号表示。
为了简化式子，约定交号一律省略不写，且运算的顺序是“先交后并”，当然有括号时，先进行括号里的运算。

至少取到两件次品：
$$\overline{A_1}\overline{A_2}\cup \overline{A_2}\overline{A_3}\cup \overline{A_2}\overline{A_3}或\overline{A_1}\overline{A_2}\overline{A_3}\cup \overline{A_1}\overline{A_2}{A}_3\cup \overline{A_2}\overline{A_3}{A}_2\cup \overline{A_2}\overline{A_3}{A}_1$$
最多取到两件正品：
$$\overline{A_1}\cup \overline{A_2}\cup \overline{A_3}或\overline{A_1{A}_2{A}_3}$$

同一事件可以有不同表达形式，尤其要正确理解“至少”“最多”“恰有”等的含义

个人感觉至少某事比较好改写

交换律与结合律相互结合，可以证明，连续多个交集运算可以随意交换顺序，并集同理
这里仅以三个为例，证明$ABC=ACB=CBA$
A B C = 结合律 A ( B C ) = 交换律 A ( C B ) = A C B = 结合律 ( A C ) B = 交换律 ( C A ) B = C ( A B ) = C B A

ABC=结合律A(BC)=交换律A(CB)=ACB=结合律(AC)B=交换律(CA)B=C(AB)=CBA" role="presentation">ABC=结合律A(BC)=交换律A(CB)=ACB=结合律(AC)B=交换律(CA)B=C(AB)=CBA$$\begin{array}{rl}ABC\stackrel{结合律}{=}A(BC)& \stackrel{交换律}{=}A(CB)=ACB\\ & \stackrel{结合律}{=}(AC)B\stackrel{交换律}{=}(CA)B=C(AB)=CBA\end{array}$$

ABC=结合律A(BC)​=交换律A(CB)=ACB=结合律(AC)B=交换律(CA)B=C(AB)=CBA​

事件的运算规律

交换律
A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A

A∪BA∩B​=B∪A=B∩A​

结合律
A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C

A∪(B∪C)A∩(B∩C)​=(A∪B)∪C=(A∩B)∩C​

以上把$\cup$看做$+$，把$\cap$看做$\times$，都成立
其实没必要什么特殊技巧，记住就行

分配律
A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )

A∪(B∩C)A∩(B∪C)​=(A∪B)∩(A∪C)=(A∩B)∪(A∩C)​

对偶律
A ∪ B ‾ = A ˉ ∩ B ˉ A ∩ B ‾ = A ˉ ∪ B ˉ A − B ‾ = A ∩ B ˉ ‾ = A ˉ ∪ B ⋃ i = 1 n A i ‾ = ⋂ i = 1 n A i ˉ ⋃ i = 1 n A i ‾ = ⋃ i = 1 n A i ˉ

A∪BA∩BA−B​i=1⋃n​Ai​​i=1⋃n​Ai​​​=Aˉ∩Bˉ=Aˉ∪Bˉ=A∩Bˉ=Aˉ∪B=i=1⋂n​Ai​ˉ​=i=1⋃n​Ai​ˉ​​

长杠变短杠，开口换方向
也可看作$\overline{A\cup B}$的横线全都拿进去变成$\bar{A}\bar{\cup }\bar{B}$，$\bar{\cap }=\cup ,\bar{\cup }=\cap$，没有这个定律，只是为了方便记
更长的拔也可以用这个方法，这里只以$P(\overline{A\cup B\cap C})=P(\bar{A}\bar{B}\cup \bar{C})$为例
$$P(\overline{A\cup B\cap C})=P(\overline{A\cup B}\cup \bar{C})=P(\bar{A}\bar{B}\cup \bar{C})$$

例2：自行验证
A ∪ ( B − C ) ‾ = A ˉ ∩ ( B ˉ ∪ C ) ( A − C ) ∩ B ‾ = ( A ˉ ∪ C ) ∪ B ˉ A ∪ ( B ∩ C ) ‾ = A ˉ ∩ ( B ˉ ∪ C ˉ ) ( A − B ) ∪ ( B − C ) ‾ = ( A ˉ ∪ B ) ∩ ( B ˉ ∪ C )

A∪(B−C)​(A−C)∩B​A∪(B∩C)​(A−B)∪(B−C)​​=Aˉ∩(Bˉ∪C)=(Aˉ∪C)∪Bˉ=Aˉ∩(Bˉ∪Cˉ)=(Aˉ∪B)∩(Bˉ∪C)​

例3：$A$发生必然导致$B$与$C$最多有一个发生，求证$\bar{A}\supset BC$

$B$与$C$最多有一个发生，即
$$\Omega -AB=\overline{AB}$$
就有
$$A\subset \overline{BC}\Rightarrow \overline{A\subset \overline{BC}}\Rightarrow \bar{A}\supset \overline{\overline{BC}}=BC$$

例4：$A\cup B=\bar{A}\cup \bar{B}$，证明：$AB=\varnothing$

A ∪ B = A ˉ ∪ B ˉ A ∪ B ‾ = A ˉ ∪ B ˉ ‾ A ˉ B ˉ = A B 构造 A B A A ˉ B ˉ = A A B ∅ = A B

A∪BA∪BAˉBˉAAˉBˉ∅​=Aˉ∪Bˉ=Aˉ∪Bˉ=AB构造AB=AAB=AB​
也可
A ∪ B = A ˉ ∪ B ˉ A ( A ∪ B ) = A ( A ˉ ∪ B ˉ ) A ∪ A B = A = A B ˉ = A − B = A − A B

A∪B=A¯∪B¯A(A∪B)=A(A¯∪B¯)A∪AB=A=AB¯=A−B=A−AB" role="presentation" style="position: relative;">A∪BA(A∪B)A∪AB=A=A¯∪B¯=A(A¯∪B¯)=AB¯=A−B=A−AB$$\begin{array}{rl}A\cup B& =\overline{A}\cup \overline{B}\\ A(A\cup B)& =A(\overline{A}\cup \overline{B})\\ A\cup AB=A& =A\overline{B}=A-B=A-AB\end{array}$$

A∪BA(A∪B)A∪AB=A​=Aˉ∪Bˉ=A(Aˉ∪Bˉ)=ABˉ=A−B=A−AB​

用到了两个常用公式：

• $A\cup AB=A$
• $A-B=A-AB$
  证明：
  A − B = A B ˉ A − A B = A A B ‾ = A ( A ˉ ∪ B ˉ ) = ∅ ∪ A B ˉ = A B ˉ
  A−B=AB¯A−AB=AAB¯=A(A¯∪B¯)=∅∪AB¯=AB¯" role="presentation" style="position: relative;">A−BA−AB=AB¯=AAB¯¯¯¯¯¯¯¯=A(A¯∪B¯)=∅∪AB¯=AB¯$$\begin{array}{rl}A-B& =A\overline{B}\\ A-AB& =A\overline{AB}=A(\overline{A}\cup \overline{B})=\varnothing \cup A\overline{B}=A\overline{B}\end{array}$$
  A−BA−AB​=ABˉ=AAB=A(Aˉ∪Bˉ)=∅∪ABˉ=ABˉ​

也可
A ∪ B = A ˉ ∪ B ˉ A ∪ ( A ∪ B ) = A ∪ ( A ˉ ∪ B ˉ ) A ∪ B = Ω ∪ B ˉ = Ω A ˉ B ˉ = ∅

A∪BA∪(A∪B)A∪BAˉBˉ​=Aˉ∪Bˉ=A∪(Aˉ∪Bˉ)=Ω∪Bˉ=Ω=∅​

方法很多，没必要局限于某种方法