时域中的离散时间信号02—详解离散卷积

一、离散信号的卷积（Convolution Sum）

1、离散信号的卷积的表示及公式

2、离散卷积的图示

离散卷积的八字真言：反转、平移、相乘、相加（time-reversal,delay,multiplication,addition）

将h[k]进行时间反转得到h[-k]，然后将h[-k]依次进行延时操作，当h[-k]的最右侧的数值和x[k]最左侧的数值重合时，开始相乘和相加操作，图中的h[k]和x[k]都是从0开始的，因此y[k]也是从0开始的，将两者k值重合的值全部对应相乘，然后相加，得到的一个数值就是对应的y[k]的值，h[-k]依次右移，直至两者没有重合k值，将得到的数值进行排列，就得到了卷积之后的y[k]。
y[0]=x[0]h[0];
y[1]=x[0]h[1]+x[1]h[0];
y[2]=x[0]h[2]+x[1]h[1]+x[2]h[0];
y[3]=x[1]h[2]+x[2]h[1];
y[4]=x[2]h[2];
得到的y[k]长度为M+N-1

3、离散卷积的计算

离散卷积可以采用列表法计算

y[0]=x[0]h[0];
y[1]=x[0]h[1]+x[1]h[0];
y[2]=x[0]h[2]+x[1]h[1]+x[2]h[0];
y[3]=x[1]h[2]+x[2]h[1];
y[4]=x[2]h[2];

4、matlab进行卷积运算

N = 6;
n = 0:N-1;
n1 = 0:10;
dn = [1 2 3 5 7 8]
cn = [4 2 2 9 10 2 ]
co = conv(dn,cn)
subplot(311)
stem(n,dn);
subplot(312)
stem(n,cn);
subplot(313)
stem(n1,co);
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

运行结果：

dn =

     1     2     3     5     7     8


cn =

     4     2     2     9    10     2


co =

     4    10    18    39    72   105   109   135   152    94    16

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

二、取模运算

1、取模

• 通过运算，使0,1,2,…,N-1以外的数字，变成N-1以内的数字。
  r=(m)_N=m modulo N
  r叫做余数，是在0和N-1之间的。
• 求取r值：r = m + LN
• eg：(34)₇=34+7L=34-7✖4=6

2、圆周反转（循环反转）

• 将序列之外的数值，反转到数列值之内
  {y[n]}={x[(-n)_N]}
• eg:将{x[-n]}进行圆周反转得到{y[n]}
  {x[n]}={x[0],x[1],x[2],x[3]}；
  结果：{y[n]}={x[(-n)₄]}={x[0],x[3],x[2],x[1]};