【高等数学基础进阶】定积分应用

几何应用

平面图形的面积

若平面域$D$由曲线$y=f(x),y=g(x)(f(x)\ge g(x)),x=a,x=b(a<b)$所围成，则
$$S={\int }_a^b[f(x)-g(x)]dx$$

化成二重积分
$$S=\underset{D}{\iint }1d\sigma ={\int }_b^{a}dx{\int }_{g(x)}^{f(x)}dy$$

若平面域$D$由曲线$\rho =\rho (\theta ),\theta =\alpha ,\theta =\beta (\alpha <\beta )$所围成，则
$$S=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{\rho }^2(\theta )d\theta$$

化成二重积分
$$S=\underset{D}{\iint }1d\sigma ={\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_0^{\rho (\theta )}\rho d\rho$$

旋转体体积

若平面域$D$由曲线$y=f(x),(f(x)\ge 0),x=a,x=b(a<b)$所围成，则
区域$D$绕$x$轴旋转一周所得到的旋转体积为
$$V_x=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$$

取一小段$dx,(a<x<b)$，则这一小段绕$x$轴旋转的得到圆柱的高为$dx$，半径为$f(x)$，因此体积为
$$dV=\pi f^2(x)dx$$
然后积分得到$V_x$

区域$D$绕$y$轴旋转一周所得到的旋转体积为
$$V_y=2\pi {\int }_a^{b}xf(x)dx$$

取一小段$dx,(a<x<b)$，则这一小段绕$y$轴旋转出来一个圆筒，将该圆筒在任意一处竖直截开，得到一个长方体，该长方体的宽为$dx$，高为$f(x)$，长为$2\pi x$，因此体积为
$$dV=2\pi xf(x)dx$$
然后积分得到$V_y$

对于任意的区域$D$绕$ax+by=c$旋转，得到的旋转体体积，可以考虑二重积分，即在$D$取$d\sigma$，该面积微元绕直线旋转得到一个环状体，该环状体的面积为$d\sigma$，长度为$2\pi r(x,y)$，其中$r(x,y)$表示该面积微元到直线的距离一般为 r ( x , y ) = ∣ a x + b y − c ∣ a 2 + b 2

r(x,y)=|ax+by−c|a2+b2" role="presentation" style="position: relative;">r(x,y)=|ax+by−c|a2+b2−−−−−−√$$\begin{array}{r}r(x,y)=\frac{|ax+by-c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{array}$$

r(x,y)=a2+b2 ​∣ax+by−c∣​​，因此该环状体体积为
$$V=2\pi r(x,y)d\sigma$$
对面积微元做二重积分即可得到整体体积，即
$$V=2\pi \underset{D}{\iint }r(x,y)d\sigma$$
用该结论推绕$x,y$轴旋转的结论
区域$D$绕$x$轴旋转一周所得到的旋转体积为
$$V=2\pi \underset{D}{\iint }yd\sigma =2\pi {\int }_a^{b}dx{\int }_0^{f(x)}ydy=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$$
区域$D$绕$y$轴旋转一周所得到的旋转体积为
$$V=2\pi \underset{D}{\iint }xd\sigma =2\pi {\int }_a^{b}dx{\int }_0^{f(x)}xdy=2\pi {\int }_a^{b}xf(x)dx$$

曲线弧长

如果由直角坐标方程给出$C:y=y(x),a\le x\le b$
$$s={\int }_a^b\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx$$

如果由参数方程给出 C : { x = x ( t ) y = y ( t ) , α ≤ t ≤ β C:\left\{

\right.,\alpha\leq t \leq \beta C:{​x=x(t)y=y(t)​,α≤t≤β
$$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}dt$$

如果由极坐标方程给出$C:\rho =\rho (\theta ),\alpha \le \theta \beta$
$$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{{\rho }^2+{\rho }^{\prime 2}}d\theta$$

直接带公式即可，没什么技巧

旋转体侧面积

$$S=2\pi {\int }_a^{b}f(x)\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}dx$$

这里去任意一小段$dx$，对应弧$dS$，则根据勾股定理，有
$$dS=\sqrt{(dx{)}^2+(f^{\prime }(x)dx{)}^2}=\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}dx$$
即
$$S=2\pi {\int }_a^{b}f(x)\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}dx=2\pi {\int }_a^{b}f(x)dS$$

此处在曲线弧长的直角坐标方程就已经有提到

物理应用

压力，变力做功，引力

常考题型与典型例题

平面域面积和旋转体体积的计算

例1：设$D$是由曲线$xy+1=0$与直线$y+x=0$及$y=2$围成的有界区域，则$D$的面积为（）
![[附件/Pasted image 20220901084351.png]]

S = ∬ D 1 d σ = ∫ 1 2 d y ∫ − y − 1 y d x = ∫ 1 2 ( y − 1 y ) d y = ( 1 2 y 2 − ln ⁡ y ) ∣ 1 2 = 3 2 − ln ⁡ 2

S=D∬​1dσ​=∫12​dy∫−y−y1​​dx=∫12​(y−y1​)dy=(21​y2−lny)∣ ∣​12​=23​−ln2​

例2：设封闭曲线$L$的极坐标方程为$r=\cos 3\theta (-\frac{\pi }{6}\le \theta \le \frac{\pi }{6})$，则$L$所围平面图形的面积为（）
![[附件/Pasted image 20220901090302.png]]

S = 1 2 ∫ α β ρ 2 ( θ ) d θ = 2 ⋅ 1 2 ∫ 0 π 6 cos ⁡ 2 3 θ d θ = 1 2 ∫ 0 π 6 ( 1 + cos ⁡ 6 θ ) d θ = 1 2 ( θ + 1 6 sin ⁡ 6 θ ) ∣ 0 π 6 = π 12

S=21​∫αβ​ρ2(θ)dθ​=2⋅21​∫06π​​cos23θdθ=21​∫06π​​(1+cos6θ)dθ=21​(θ+61​sin6θ)∣ ∣​06π​​=12π​​

例3：过点$(0,1)$作曲线$L:y=\ln x$的切线，切点为$A$，又 $L$与$x$轴交于$B$点，区域$D$由$L$与直线$AB$围成，求区域$D$的面积及$D$绕$x$轴旋转一周所得旋转体的体积
![[附件/Pasted image 20220901093720.png]]

$$y-y_0=\frac{1}{x_0}(x-x_0)\Rightarrow 1-\ln x_0=-1\Rightarrow x_0=e^2$$
或
y − 1 = k ( x − 0 ) ⇒ y = k x + 1 ⇒ { k x + 1 = ln ⁡ x k = 1 x ⇒ x = e 2 y-1=k(x-0)\Rightarrow y=kx+1\Rightarrow \left\{

\right.\Rightarrow x=e^{2} y−1=k(x−0)⇒y=kx+1⇒⎩ ⎨ ⎧​​kx+1=lnxk=x1​​⇒x=e2
可知$C$点坐标为$(e^2,2)$
S = ∫ 1 e 2 ln ⁡ x d x − 1 2 ( e 2 − 1 ) 2 = 2 V = π ∫ 1 e 2 ln ⁡ 2 x d x − 1 3 ⋅ π 2 2 ⋅ ( e 2 − 1 ) = 2 π 3 ( e 2 − 1 )

S=∫1e2ln⁡xdx−12(e2−1)2=2V=π∫1e2ln2⁡xdx−13⋅π22⋅(e2−1)=2π3(e2−1)" role="presentation" style="position: relative;">SV=∫e21lnxdx−12(e2−1)2=2=π∫e21ln2xdx−13⋅π22⋅(e2−1)=2π3(e2−1)$$\begin{array}{rl}S& ={\int }_1^{e^2}\ln xdx-\frac{1}{2}(e^2-1)2=2\\ V& =\pi {\int }_1^{e^2}{\ln }^{2}xdx-\frac{1}{3}\cdot \pi 2^2\cdot (e^2-1)=\frac{2\pi }{3}(e^2-1)\end{array}$$

SV​=∫1e2​lnxdx−21​(e2−1)2=2=π∫1e2​ln2xdx−31​⋅π22⋅(e2−1)=32π​(e2−1)​

例4：曲线$y={\int }_0^x\tan tdt(0\le x\le \frac{\pi }{4})$的弧$s=()$

s = ∫ a b 1 + y ′ 2 d x = ∫ 0 π 4 1 + tan ⁡ 2 x d x = ∫ 0 π 4 sec ⁡ x d x = ln ⁡ ( sec ⁡ x + tan ⁡ x ) ∣ 0 π 4 = ln ⁡ ( 2 + 1 )

s=∫ab​1+y′2 ​dx​=∫04π​​1+tan2x ​dx=∫04π​​secxdx=ln(secx+tanx)∣ ∣​04π​​=ln(2 ​+1)​

物理应用

例5：一容器的内侧是由图中曲线绕$y$轴旋转一周而成的曲面，该曲线由$x^2+y^2=2y(y\ge \frac{1}{2})$与$x^2+y^2=1(y\le \frac{1}{2})$连接而成

• 求容器容积
• 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功

（长度单位$m$，重力加速度$gm/s^2$，水的密度为$10^{3}kg/m^3$）
![[附件/Pasted image 20220901100107.png|250]]

在$x^2+y^2=1(y\le \frac{1}{2},x\ge 0)$取一个$dy$的小薄片，则该小薄片绕$y$轴旋转的体积为
$$\pi x^{2}dy$$
其实用最基本的公式或二重积分都能做出来

$$V=2\cdot \pi {\int }_{-1}^{\frac{1}{2}}{x}^{2}dy=2\cdot \pi {\int }_{-1}^{\frac{1}{2}}(1-y^2)dy=\frac{9\pi }{4}$$

在$x^2+y^2=1(y\le \frac{1}{2})$取一个$dy$的小薄片，则该小薄片到$y=2$的距离$S$为
$$S=2-y$$
对于$F$，有
$$F=mg=\rho Vg=10^3\cdot \pi x^2\cdot dy\cdot g$$
对于$x^2+y^2=2y(y\ge \frac{1}{2})$同理，换一个方程就行

W = 1 0 3 g ∫ − 1 1 2 π ( 1 − y 2 ) ( 2 − y ) d y + 1 0 3 g ∫ 1 2 2 π ( 2 y − y 2 ) ( 2 − y ) d y = 27 8 ⋅ 1 0 3 π g

W​=103g∫−121​​π(1−y2)(2−y)dy+103g∫21​2​π(2y−y2)(2−y)dy=827​⋅103πg​

考虑一个薄层$dy$一般称为元素法（微元法）

例6：某闸门的形状与大小如图所示，其中$y$为对称轴，闸门的上部为矩形$ABCD$，$DC=2m$，下部由二次抛物线与线段$AB$所围成，当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为$5:4$，闸门矩形部分的高$h$应为多少
![[附件/Pasted image 20220901102043.png|150]]

$F=PS$
本题也是元素法，不做详细讲解

F 1 = 2 ∫ 1 h + 1 ρ g ( h + 1 − y ) d y = 2 ρ g [ ( h + 1 ) y − y 2 2 ] 1 h + 1 = ρ g h 2 F 2 = 2 ∫ 0 1 ρ g ( h + 1 − y ) y d y = 2 ρ g [ 2 3 ( h + 1 ) y 3 2 − 2 5 y 5 2 ] 0 1 = 4 ρ g ( 1 3 h + 2 15 )

F1​F2​​=2∫1h+1​ρg(h+1−y)dy=2ρg[(h+1)y−2y2​]1h+1​=ρgh2=2∫01​ρg(h+1−y)y ​dy=2ρg[32​(h+1)y23​−52​y25​]01​=4ρg(31​h+152​)​
因此，由题意得
$$\frac{h^2}{4\left(\frac{1}{3}h+\frac{2}{15}\right)}=\frac{5}{4}\Rightarrow h=2,h=\frac{1}{3}$$

用Python的matplotlib绘图感觉有点麻烦，个人也没研究明白，暂时用GeoGebra绘图代替一下，所以最近的笔记绘图不会给出源代码了，如果有需要可以私信要一下GeoGebra源文件