【初赛题解】CSP-J 2019 入门级 第一轮 第16题

【题目】

CSP-J 2019 入门级 第一轮 第16题
阅读程序

#include 
#include 
using namespace std;
char st[100];
int main() {
    scanf("%s", st);
    int n = strlen(st);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (n % i == 0) {
            char c = st[i - 1];
            if (c >= 'a')
                st[i - 1] = c - 'a' + 'A';
        }
    }
    printf("%s", st);
    return 0;
}	
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判断题
1.输入的字符串只能由小写字母或大写字母组成。（）
A. 正确
B. 错误
2.若将第 88 行的 i = 1 改为 i = 0，程序运行时会发生错误。（）
A. 正确
B. 错误
3.若将第 88 行的 i <= n 改为 i * i <= n，程序运行结果不会改变。（）
A. 正确
B. 错误
4.若输入的字符串全部由大写字母组成，那么输出的字符串就跟输入的字符串一样。（）
A. 正确
B. 错误
选择题
5.若输入的字符串长度为 1818，那么输入的字符串跟输出的字符串相比，至多有（）个字符不同。
A. 18
B. 6
C. 10
D. 1
6.若输入的字符串长度为（），那么输入的字符串跟输出的字符串相比，至多有 3636 个字符不同。
A. 36
B. 100000
C. 1
D. 128

【题目考点】

1. 字符、字符数组

2. 约数

整数n可以分解质因数为$n=p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}...p_k^{a_k}$
根据乘法原理，可知n的约数个数为：$(a_1+1)(a_2+2)...(a_k+k)$

【解题思路】

易知st是存储字符串的字符数组，n是字符串的长度。
接下来看下一段for循环：

 for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (n % i == 0) {
            char c = st[i - 1];
            if (c >= 'a')
                st[i - 1] = c - 'a' + 'A';
        }
 }
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i从1到n循环，而下面代码中使用i的地方都是st[i-1]，因此可以看出，i指的是当前字符串中的第几个字符（从1开始数）。
n%i==0，n是i的整数倍，或者说i是n的约数。
那么取第i个字符（从1开始）为c。
根据ascii码原理，c >= 'a'可以理解为如果这个字符是小写字母。c-'a'+'A'可以理解为将c从小写字母转为大写字母。
那么该段代码的含义为：i从1到n循环，如果i是n的约数，那么第i（从1开始）个字符如果是小写，变为大写。
这段代码的功能清楚了，就可以做题了。

1.输入的字符串只能由小写字母或大写字母组成。（）
错误，字符串中可以有字母，也可以有其它字符。
2.若将第 88 行的 i = 1 改为 i = 0，程序运行时会发生错误。（）
正确。i初值为0的话，n%i==0可能会出现n%0的情况，这就是除0，会产生运行时错误。
3.若将第 88 行的 i <= n 改为 i * i <= n，程序运行结果不会改变。（）
错误。会改变，因为如果$i>\sqrt{n}$，还是可能是n的约数的。比如n为10，那么满足n%i==0的i有1,2,5,10，其中5和10都是i*i > n的数字，如果代码是i <= n，那么第5和第10字符（从1开始）会从小写变为大写。如果代码是i*i <= n，则不会发生。
4.若输入的字符串全部由大写字母组成，那么输出的字符串就跟输入的字符串一样。（）
正确。对字符串的改动只有小写变大写。都是大写字母的话，就不会变。
5.若输入的字符串长度为 18，那么输入的字符串跟输出的字符串相比，至多有（）个字符不同。
A.18 B.6 C.10 D.1
字符可以改变的位置（从1开始），即为18的约数。看18有几个约数，那么就最多可以改变几个字符。18的约数有1,2,3,6,9,18，共6个，选B。
6.若输入的字符串长度为（），那么输入的字符串跟输出的字符串相比，至多有 36 个字符不同。
A. 36
B. 100000
C. 1
D. 128
就是看哪个数字的约数有36个。
判断一个数字的约数的个数，可以先分解质因数，比如$36=2^2\ast 3^2$，作为36的约数，一定是0个或多个质因数的乘积。质因数2可以取0,1,2个，质因数3可以取0,1,2个，根据乘法原理，共有$3\ast 3=9$
求约数个数公式见上面【题目考点】。
同理：$128$ = $2^7$，约数有8个。
1的约数只有1个。
此时通过排除法可以选B了。
算一下B选项：$100000=10^5=2^5\ast 5^5$，约数个数为$(5+1)(5+1)=36$个
选B。

【答案】

1. B
2. A
3. B
4. A
5. B
6. B