【线性代数基础进阶】二次型-补充+练习

正交变换法

用矩阵语言表达，即对任意一个$n$阶实对称阵$A$，必存在正交阵$Q$，使得
$$Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\Lambda$$
其中 Λ = ( λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ λ n ) , λ i ( i = 1 , 2 , ⋯   , n ) \Lambda=

,\lambda_{i}(i=1,2,\cdots ,n) Λ=⎝ ⎛​λ1​0⋮0​0λ2​⋮0​⋯⋯⋯​00⋮λn​​⎠ ⎞​,λi​(i=1,2,⋯,n)是$A$的特征值，即$A$必既相似又合同于对角阵

注：正交变换法只能化二次型为标准形，平方项的系数即是特征值

标准形

例1：二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+3x_2^2+x_3^2+2a{x}_1{x}_2+2x_1{x}_3+2x_2{x}_3$，经正交变换$x=Py$化为标准形$y_1^2+4y_2^2$，则$a=()$

正交变换法中有
$$x^{T}Ax\stackrel{x=Qy}{=}{y}^T{Q}^{T}AQy$$
只看系数矩阵，有
$$|Q^{T}AQ|=|Q^T||A||Q|=|A|$$
即正交变换前后，系数矩阵行列式相等
一定注意是正交变换的行列式，一般的合同矩阵之间没有这个关系

有
A = ( 1 a 1 a 3 1 1 1 1 ) A=

A=⎝ ⎛​1a1​a31​111​⎠ ⎞​
标准形中已知$|Q^{T}AQ|=0$，则
∣ A ∣ = ∣ 1 a 1 a 3 1 1 1 1 ∣ = − ( a − 1 ) 2 = 0 |A|=

|1a1a31111|" role="presentation" style="position: relative;">∣∣∣∣1a1a31111∣∣∣∣$$\left|\begin{array}{ccc}1& a& 1\\ a& 3& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right|$$

=-(a-1)^{2}=0 ∣A∣=∣ ∣​1a1​a31​111​∣ ∣​=−(a−1)2=0
得$a=1$

合同

证明：矩阵 A = ( 1 2 0 2 1 0 0 0 2 ) A=

A=⎝ ⎛​120​210​002​⎠ ⎞​与 ( 1 0 0 0 1 0 0 0 − 1 )

(10001000−1)" role="presentation" style="position: relative;">⎛⎝⎜10001000−1⎞⎠⎟$$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$$

⎝ ⎛​100​010​00−1​⎠ ⎞​合同，与 ( 1 1 0 0 1 0 0 0 0 )

(110010000)" role="presentation" style="position: relative;">⎛⎝⎜100110000⎞⎠⎟$$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

⎝ ⎛​100​110​000​⎠ ⎞​

是否合同的充要条件是$A\simeq B\iff p_A=p_B,q_A=q_B$，两个矩阵特征值只是符号相同的数量相同，值之间没有必然关系

由特征值
∣ λ E − A ∣ = ∣ λ − 1 − 2 0 − 2 λ − 1 0 0 0 λ − 2 ∣ = ( λ − 2 ) ( λ − 3 ) ( λ + 1 ) |\lambda E-A|=

=(\lambda-2)(\lambda-3)(\lambda+1) ∣λE−A∣=∣ ∣​λ−1−20​−2λ−10​00λ−2​∣ ∣​=(λ−2)(λ−3)(λ+1)
知二次型标准形为$2y_1^2+3y_2^2-y_3^2$，即$p=2,q=1$，得证

只需要正负惯性指数可以考虑配方法，这里不做演示

配方法

例：用配方法化成二次型，$f(x_1,x_2,x_3)=2x_1{x}_2+4x_1{x}_3$为标准形，并写出所用的坐标变换

对于没有平方项只有交叉项的，先做辅助坐标变换

令
{ x 1 = y 1 + y 2 x 2 = y 1 − y 2 x 3 = y 3 \left\{

\right. ⎩ ⎨ ⎧​​x1​=y1​+y2​x2​=y1​−y2​x3​=y3​​

该变换既能配方又能保证系数行列式不为$0$
这是对没有平方项只有交叉项的，如果有任意一个$x$的平方项，那就可以从这个$x$起手，进行配方
对于更高元二次型没有平方项只有交叉项的可以用
{ x 1 = y 1 + y 2 x 2 = y 1 − y 2 x 3 = y 3 ⋮ x n = y n \left\{

x1=y1+y2x2=y1−y2x3=y3⋮xn=yn" role="presentation" style="position: relative;">x1x2x3xn=y1+y2=y1−y2=y3⋮=yn$$\begin{array}{rl}{x}_1& =y_1+y_2\\ x_2& =y_1-y_2\\ x_3& =y_3\\ & ⋮\\ x_n& =y_n\end{array}$$

\right. ⎩ ⎨ ⎧​x1​x2​x3​xn​​=y1​+y2​=y1​−y2​=y3​⋮=yn​​
来做辅助坐标变换

得
f = 2 ( y 1 + y 2 ) ( y 1 − y 2 ) + 4 ( y 1 + y 2 ) y 3 = 2 y 1 2 − 2 y 2 2 + 4 y 1 y 2 + 4 y 2 y 3 = 2 ( y 1 2 + 2 y 1 y 3 + y 3 2 ) − 2 y 2 2 + 4 y 2 y 3 − 2 y 3 2 = 2 ( y 1 + y 3 ) 2 − 2 ( y 2 − y 3 ) 2

f​=2(y1​+y2​)(y1​−y2​)+4(y1​+y2​)y3​=2y12​−2y22​+4y1​y2​+4y2​y3​=2(y12​+2y1​y3​+y32​)−2y22​+4y2​y3​−2y32​=2(y1​+y3​)2−2(y2​−y3​)2​

有平方项有时也需要辅助坐标变换

例：$f(x_1,x_2,x_3)=2x_2^2+2x_1{x}_3$用配方法化为标准形

显然直接的配方不好进行，考虑坐标变换
{ x 1 = y 1 + y 3 x 2 = y 2 x 3 = y 1 − y 3 \left\{

\right. ⎩ ⎨ ⎧​​x1​=y1​+y3​x2​=y2​x3​=y1​−y3​​
代入
$$f(x_1,x_2,x_3)=2y_1^2+2y_2^2-2y_3^2$$

有时也可能出现用$x_1$起手不合适的情况，可以换其他含有平方项的$x$，没有太固定的变换模板，需要灵活

例：$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+2x_1{x}_2+x_2{x}_3$化为标准形

如果用$x_1$起手
f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x 1 + x 2 ) 2 + x 2 x 3

f(x1​,x2​,x3​)​=(x1​+x2​)2+x2​x3​​
到此已经无法继续配方了，换$x_2$起手
f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = [ x 2 2 + 2 x 2 ( x 1 + 1 2 x 3 ) ] + x 1 2 = ( x 2 + x 1 + 1 2 x 3 ) 2 − ( x 1 + 1 2 x 3 ) 2 + x 1 2 = ( x 2 + x 1 + 1 2 x 3 ) 2 − x 1 2 − 1 4 x 3 2 − x 1 x 3 + x 1 = ( x 2 + x 1 + 1 2 x 3 ) 2 − ( 1 4 x 3 2 + 2 x 1 ⋅ 1 2 x 3 ) = ( x 2 + x 1 + 1 2 x 3 ) 2 − ( 1 2 x 3 + x 1 ) 2 + x 1 2

f(x1,x2,x3)=[x22+2x2(x1+12x3)]+x12=(x2+x1+12x3)2−(x1+12x3)2+x12=(x2+x1+12x3)2−x12−14x32−x1x3+x1=(x2+x1+12x3)2−(14x32+2x1⋅12x3)=(x2+x1+12x3)2−(12x3+x1)2+x12" role="presentation" style="position: relative;">f(x1,x2,x3)=[x22+2x2(x1+12x3)]+x21=(x2+x1+12x3)2−(x1+12x3)2+x21=(x2+x1+12x3)2−x21−14x23−x1x3+x1=(x2+x1+12x3)2−(14x23+2x1⋅12x3)=(x2+x1+12x3)2−(12x3+x1)2+x21$$\begin{array}{rl}f(x_1,x_2,x_3)& =[x_2^2+2x_2(x_1+\frac{1}{2}{x}_3)]+x_1^2\\ & =(x_2+x_1+\frac{1}{2}{x}_3{)}^2-(x_1+\frac{1}{2}{x}_3{)}^2+x_1^2\\ & =(x_2+x_1+\frac{1}{2}{x}_3{)}^2-x_1^2-\frac{1}{4}{x}_3^2-x_1{x}_3+x_1\\ & =(x_2+x_1+\frac{1}{2}{x}_3{)}^2-(\frac{1}{4}{x}_3^2+2x_1\cdot \frac{1}{2}{x}_3)\\ & =(x_2+x_1+\frac{1}{2}{x}_3{)}^2-(\frac{1}{2}{x}_3+x_1{)}^2+x_1^2\end{array}$$

f(x1​,x2​,x3​)​=[x22​+2x2​(x1​+21​x3​)]+x12​=(x2​+x1​+21​x3​)2−(x1​+21​x3​)2+x12​=(x2​+x1​+21​x3​)2−x12​−41​x32​−x1​x3​+x1​=(x2​+x1​+21​x3​)2−(41​x32​+2x1​⋅21​x3​)=(x2​+x1​+21​x3​)2−(21​x3​+x1​)2+x12​​

关于配方法和辅助坐标变换是很灵活的，这仅是自己的总结，我觉得应该有更加普适的方法，但个人能力就到这里了，如果有好的方法可以私信我，我加上

正定二次型

定理：经坐标变换不改变二次型的正定性

官方表述：经可逆线性变换不改变二次型的正定性

例：判断二次型$f(x_1,x_2,x_3)=(x_1-x_2{)}^2+(x_2-x_3{)}^2+(x_3-x_2{)}^2$的正定性

A = ( 2 − 1 − 1 − 1 2 − 1 − 1 − 1 2 ) , ∣ A ∣ = 0 A=

,|A|=0 A=⎝ ⎛​2−1−1​−12−1​−1−12​⎠ ⎞​,∣A∣=0
一定不是正定二次型

此处注意如果想用坐标变换法，要保证变换的系数矩阵对应行列式不为$0$
令
{ y 1 = x 1 − x 2 y 2 = x 2 − x 1 y 3 = − x 1 + x 3 \left\{

y1=x1−x2y2=x2−x1y3=−x1+x3" role="presentation" style="position: relative;">y1=x1−x2y2=x2−x1y3=−x1+x3$$\begin{array}{rl}& y_1=x_1-x_2\\ & y_2=x_2-x_1\\ & y_3=-x_1+x_3\end{array}$$

\right. ⎩ ⎨ ⎧​​y1​=x1​−x2​y2​=x2​−x1​y3​=−x1​+x3​​
对应行列式
∣ 1 − 1 0 0 1 − 1 − 1 0 1 ∣ = 0

|1−1001−1−101|" role="presentation" style="position: relative;">∣∣∣∣10−1−1100−11∣∣∣∣$$\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& 1& -1\\ -1& 0& 1\end{array}\right|$$

=0 ∣ ∣​10−1​−110​0−11​∣ ∣​=0
因此该变换不是坐标变换

【线性代数基础进阶】到此结束，如果笔记有问题私信我，一定会及时更改
然后下一个线性代数系列应该是【线性代数基础强化】，还会开始【概率论基础进阶】，同时继续之前的【高等数学基础进阶】
【线性代数基础强化】主要目的是尽自己能力推一下之前很多只是为了做题，但没有说明为什么的定理、推广、结论等等
然后关于660，暂定一时半会不会更，大概三个月以后？