数据结构与算法 -- 子序列问题

一、子序列问题

        子数组问题是连续的，而子序列问题是不连续的。比如说字符串 “I wanna keep a giraffe in my backyard” 的一种子序列就可以是 “Igbackd”。 子序列不再要求答案是一个连续的串。一个字符串的子序列，是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。举个例子，“ace” 是 “abcde” 的子序列，但是 “aec” 就不是 “abcde” 的子序列。

二、最长回文子序列

1、问题描述

问题：给定一个字符串 s ，找到其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。可以假设 s 的最大长度为 1000。 

 
示例1：
 
输入："asssasms"
输出：5
解释：一个可能的最长回文子序列为 "sssss"，另一种可能的答案是 "asssa"。

2、算法分析

1）初始化状态

        单个字符一定是它自己的回文；

2）状态参数

        一个是起始位置，另一个是结束位置。在算法的执行过程中，起始和结束位置是变化的，因此它们是状态参数。 

3）决策

        当前子问题的答案就是通过前面的子问题 ➕ 当前的决策推导出来的。当前的决策就是：计算出向子问题的两边分别扩充一个元素后得到的答案。 

4）备忘录

        DP[i][j]，其对应的值是字符串 i…j 中最长回文子序列的长度。 

3、状态方程

4、算法实现

package main
 
import "fmt"
 
 
func DP(str string, length int) int {
	byteSlice := []byte(str)
 
	// 创建备忘录
	dp := make([][]int, length)
	for i := range dp{
		dp[i] = make([]int, length)
	}
 
	// 初始化状态
	for i := 0; i < length; i++ {
		dp[i][i] = 1
	}
 
	// 转移方程转换实现
	for i := length - 1; i >= 0; i-- {
		for j := i+1; j < length; j++ {
			if byteSlice[i] == byteSlice[j] {
				dp[i][j] = 2 + dp[i+1][j-1];
			} else {
				if dp[i+1][j] > dp[i][j-1] {
					dp[i][j] = dp[i+1][j]
				} else {
					dp[i][j] = dp[i][j-1]
				}
			}
		}
	}
	return dp[0][length-1] // 输出答案
}
 
func main() {
	str := "asssasms"
	length := len(str)
	fmt.Println(DP(str, length))  // 输出答案
}

三、最长公共子序列

1、问题描述

问题：给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。若这两个字符串没有公共子序列，则返回 0。

其中：

1 ≤ text1.length ≤ 1000；

1 ≤ text2.length ≤ 1000；

输入的字符串只含有小写英文字符。 

 
示例1：
 
输入：text1 = "abcde", text2 = "ade" 
输出：3  
解释：最长公共子序列是 "ade"，它的长度为 3。

2、算法分析

1）初始化状态

        当两个字符的其中一个为空串，或同时为空串时，原问题的答案肯定是 0。显然，一个字符串与空串的公共子序列肯定是空的。 

2）状态参数

        用变量 i 和变量 j 描述了整个问题的求解空间，备忘录是基于二维数组构建的。因此，我们的状态参数就是变量 i 和变量 j。 

3）决策

对于 text1 和 text2 这两个字符串中的每个字符 text1[i] 和 text2[j]，其实只有两种选择：

1、text1[i−1]==text2[j−1]，即当前遍历的两个字符在最长公共子序列中，此时 DP[i][j]=1+DP[i−1][j−1]；

2、text1[i−1]!=text2[j−1]，即当前遍历的两个字符至少有一个不在最长公共子序列中。仿照最长回文子序列的处理方法，由于两个字符至少有一个不在，因此我们需要丢弃一个。因此在不等的情况下，需要进一步作出决策。 

由于我们要求的是最长公共子序列，因此哪个子问题的答案比较长，就留下谁：max(DP[i−1][j], DP[i][j−1])。

4）备忘录

        DP[i][j] 表示的是 text1[0…i] 和 text2[0…j] 的最长公共子序列的长度。 

3、状态方程

4、算法实现

package main
 
import "fmt"
 
 
func DP(str1 string, str2 string) int {
	byteSlice1 := []byte(str1)
	byteSlice2 := []byte(str2)
 
	length1 := len(str1)
	length2 := len(str2)
 
	// 创建备忘录
	dp := make([][]int, length1+1)
	for i := range dp{
		dp[i] = make([]int, length2+1)
	}
 
	// 初始化状态
	for i := 0; i < length1+1; i++ {
		for j := 0; j  < length2+1; j++ {
			dp[i][j] = 0
		}
	}
 
	// 转移方程转换实现
	for i := 1; i<= length1; i++ {
		for j := 1; j <= length2; j++ {
			if byteSlice1[i-1] == byteSlice2[j-1] {
				dp[i][j] = 1 + dp[i-1][j-1];
			} else {
				if dp[i-1][j] > dp[i][j-1] {
					dp[i][j] = dp[i-1][j]
				} else {
					dp[i][j] = dp[i][j-1]
				}
			}
		}
	}
	return dp[length1][length2] // 输出答案
}
 
func main() {
	str1 := "abcde"
	str2 := "ade"
	fmt.Println(DP(str1, str2))  // 输出答案
}

声明：本文参考极客时间《动态规划面试宝典》