相关性 与 独立性

(一) X与Z是相关还是独立？

1.二维正态分布：X与Y独立 ⇦⇨ X与Y不相关，ρ_XY=0

2.判断X与Z关系：求Cov(X,Z)
①Cov(X,Z)=0：不相关
②Cov(X,Z)≠0：相关

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例题1：23李林四(三)9.

分析：
①原理：二维正态分布，不相关就是独立，独立就是不相关。
②分析选项：
A.是X与Z不独立，即X与Z相关。
B.是X与Z不相关
C.是Y与Z独立，即Y与Z不相关。D也是Y与Z不相关，显然C与D是一个意思。不选。只判断A、B
③判断X与Z是否独立/不相关：求Cov(X,Z)，得出为0。X与Z独立，不相关。选B

答案：B

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(二) 相关性与独立性的关系

1.相关性 (线性关系)

相关，即线性相关程度。
不相关，即线性无关。完全没有线性函数关系。

相关系数${\rho }_{XY}$

线性相关系数ρ_XY性质：
①|ρ_XY|≤1.
②P{Y=aX+B}=1

ρ_XY为1、-1时表明X与Y存在线性相关关系。
当|ρ_XY|较大时，说明X与Y的线性相关程度较好。
当|ρ_XY|较小时，说明X与Y的线性相关程度较差。
ρ_XY=0时，称X与Y不相关
ρ_XY= 0时，即Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)·E(Y)=0，则X与Y不相关，不存在线性关系。(但可能存在其他函数关系)

2.独立性 (无任何关系)

1.若X与Y相互独立，则X与Y不存在任何函数关系，包括线性关系。所以当X与Y独立时，ρ_XY=0，即X与Y不相关，不存在线性函数关系。

但X与Y不相关，不存在线性函数关系时，却可能存在其他的(类似圆的X²+Y²=1)函数关系。

2.独立则P{ }可拆为两部分：
P{X≤a}·P{Y≤b} = P{X≤a,Y≤b}

3.相关性与独立性的关系

相关：X与Y具有线性函数关系
不相关：X与Y没有线性函数关系
独立：X与Y不存在任何函数关系   【二维正态分布，不相关就是独立】

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例题1：23李林六套卷(四)9.

分析：
∵Y=|X|，有非线性的函数关系，即为不独立且不相关

答案：C

例题2：19年22(2)(3)

经典Z=XY
经典1，-1两点分布

分析：$p=\frac{1}{2}$时X与Z不相关。但不相关只是说明没有线性关系，无法直接说明第三问的独立。

答案：
(3)
①$p\ne \frac{1}{2}$时，X与Z相关，即$p\ne \frac{1}{2}$时X与Z不独立。
②现只需考虑$p=\frac{1}{2}$时的情况。检验P{X<1,Z<1}=P{X<1}·P{Z<1}
发现不相等，则$p=\frac{1}{2}$时X与Z也不独立
③综上①②，任取0

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(三) 独立可加性 (XY独立且同类型分布)

若X与Y独立，且满足以下5种同类型分布，则具有独立可加性.