反函数求导
x
y
′
=
1
y
x
′
;
x
y
y
′
′
=
−
y
x
x
′
′
(
y
x
′
)
3
x'_y=\frac{1}{y'_x};x''_{yy}=\frac{-y''_{xx}}{(y'_x)^3}
xy′=yx′1;xyy′′=(yx′)3−yxx′′
分段函数求导 在分段点用导数定义求导 在连续点用
多项乘除、开方乘方 1.等式两边取对数，可以是视绝对值而不见
高阶求导 1.归纳法 2.莱布尼茨公式:
(
u
(
n
)
±
v
(
n
)
)
=
u
(
n
)
±
v
(
n
)
(u^{(n)}\pm v^{(n)})=u^{(n)}\pm v^{(n)}
(u(n)±v(n))=u(n)±v(n)
(
u
v
)
(
n
)
=
u
(
n
)
+
C
n
1
u
(
n
−
1
)
v
+
C
n
2
u
(
n
−
2
)
v
+
.
.
.
+
C
n
n
−
1
u
v
(
n
−
1
)
+
v
(
n
)
(uv)^{(n)}=u^{(n)}+C^1_nu^{(n-1)}v+C^2_nu^{(n-2)}v+...+C^{n-1}_nuv^{(n-1)}+v^{(n)}
(uv)(n)=u(n)+Cn1u(n−1)v+Cn2u(n−2)v+...+Cnn−1uv(n−1)+v(n) 3.高阶导数 写抽象展开和具体展开，然后用函数值唯一性使得两式相等
TIPS:
(
u
v
)
′
=
u
′
v
+
v
′
u
(uv)'=u'v+v'u
(uv)′=u′v+v′u仅在u和v导数均存在的情况下成立
进行高阶求导的时候，可以通过函数的奇偶性快速求导
l
n
f
(
x
)
lnf(x)
lnf(x)要视绝对值而不见
2.2 微分几何性质
极值的必要条件
极值的第一\第二\第三充分条件
凹凸性 定义：
λ
1
f
(
x
1
)
+
λ
2
f
(
x
2
)
>
f
(
λ
1
x
1
+
λ
2
x
2
)
\lambda_1f(x_1)+\lambda_2f(x_2)>f(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2)
λ1f(x1)+λ2f(x2)>f(λ1x1+λ2x2)
f
(
x
1
+
x
2
2
)
<
f
(
x
1
)
+
f
(
x
2
)
2
f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}
f(2x1+x2)<2f(x1)+f(x2) 判别凹凸性的充分条件
拐点 连续曲线的凹弧和凸弧的分界点成为拐点 拐点的必要条件 拐点的第一\第二\第三充分条件
渐近线
最值 闭区间求领域:比较区间内极值点和区间端点 开区间求领域：比较区间内极值点和两侧极限
曲率
k
=
∣
y
′
′
∣
[
1
+
(
y
′
)
2
]
3
2
,
R
=
1
k
k=\frac{|y''|}{[1+(y')^2]^{\frac{3}{2}}},R=\frac{1}{k}
k=[1+(y′)2]23∣y′′∣,R=k1
tips：
截距不是距离，可负
凹凸性的判别
f
(
x
1
+
x
2
2
)
<
f
(
x
1
)
+
f
(
x
2
)
2
f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}
f(2x1+x2)<2f(x1)+f(x2)可以结合中值定理考察
确定辅助函数 (1)直接用f(x) (2)求导公式
(
u
v
)
′
=
u
′
v
+
u
v
′
(uv)'=u'v+uv'
(uv)′=u′v+uv′的妙用 (3)对于类似
f
′
′
(
x
)
+
2
f
′
(
x
)
+
f
(
x
)
f''(x)+2f'(x)+f(x)
f′′(x)+2f′(x)+f(x)构造辅助函数
[
e
x
f
(
x
)
]
′
′
[e^xf(x)]''
[exf(x)]′′ (4)对于
f
′
(
x
)
+
f
(
x
)
ψ
(
x
)
′
f'(x)+f(x)\psi(x)'
f′(x)+f(x)ψ(x)′，构造
f
(
x
)
e
ψ
(
x
)
f(x)e^{\psi(x)}
f(x)eψ(x) 对于类似
f
′
(
x
)
x
−
f
(
x
)
f'(x)x-f(x)
f′(x)x−f(x)构造
f
(
x
)
x
\frac{f(x)}{x}
xf(x)函数
确定使用的定理 (1)零点定理 (2)介值定理 (3)费马定理 (4)罗尔定理
TIPS:
找零点时，可以通过找到零点最多可能存在个数和零点最少可能存在个数从而确定零点个数
特殊的中值定理应用：将
l
n
(
f
(
x
)
g
(
x
)
ln(\frac{f(x)}{g(x)}
ln(g(x)f(x)化作
l
n
f
(
x
)
−
l
n
g
(
x
)
lnf(x)-lng(x)
lnf(x)−lng(x)可以使用中值定理