自动控制原理5.4---稳定裕度

参考书籍：《自动控制原理》(第七版).胡寿松主编.
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4.稳定裕度

• 当${\Gamma }_{GH}$穿过$(-1,\mathrm{j}0)$点，闭环系统临界稳定；在稳定性研究中，称$(-1,\mathrm{j}0)$点为临界点，闭合曲线${\Gamma }_{GH}$相对于临界点的位置即偏离临界点的程度，反映系统的相对稳定性；
• 频域的相对稳定性即稳定裕度常用相角裕度$\gamma$和幅值裕度$h$度量；

4.1 相角裕度$\gamma$

设${\omega }_c$为系统的截止频率，则：
$$A({\omega }_c)=|G(\mathrm{j}{\omega }_c)H(\mathrm{j}{\omega }_c)|=1$$
定义相角裕度：
$$\gamma =180°+\angle [G(\mathrm{j}{\omega }_c)H(\mathrm{j}{\omega }_c)]$$
相角裕度$\gamma$含义：对于闭环稳定系统，如果系统开环相频特性再滞后$\gamma$度，则系统将处于临界稳定状态；

4.2 幅值裕度$h$

设${\omega }_x$为系统的穿越频率，则系统在${\omega }_x$处的相角：
$$\phi ({\omega }_x)=\angle [G(\mathrm{j}{\omega }_x)H(\mathrm{j}{\omega }_x)]=(2k+1)\pi ；k=0,\pm 1,\dots$$
定义幅值裕度为：
$$h=\frac{1}{|G(\mathrm{j}{\omega }_x)H(\mathrm{j}{\omega }_x)|}$$
幅值裕度$h$的含义：对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大$h$倍，则系统将处于临界稳定状态；

• 对数坐标下，幅值裕度定义：
  $$h(\mathrm{dB})=-20\lg |G(\mathrm{j}{\omega }_x)H(\mathrm{j}{\omega }_x)|(\mathrm{dB})$$

• 当幅值裕度以分贝表示时，如果$h$大于$1$，则幅值裕度为正值；如果$h$小于$1$，则幅值裕度为负值；正幅值裕度(以$\mathrm{dB}$表示)表示系统是稳定的，负幅值裕度(以$\mathrm{dB}$表示)表示系统是不稳定的；

• 条件稳定系统将具有两个或多个穿越频率，且某些具有复杂动态特性的高阶系统还可能具有两个或多个截止频率，对于具有两个或多个截止频率的稳定系统，相角裕度应在最高的截止频率上测量；

  

实例分析：

$Example1$： 已知单位反馈系统
$$G(s)=\frac{K}{(s+1{)}^3}$$
设$K$分别为$4$和$10$时，试确定系统的稳定裕度。

解：

系统开环频率特性为：
$$G(\mathrm{j}\omega )=\frac{K}{\sqrt{(1+{\omega }^2{)}^3}}\angle (-3\arctan \omega )=\frac{K[(1-3{\omega }^2)-\mathrm{j}\omega (3-{\omega }^2)]}{(1+{\omega }^2{)}^3}$$
按${\omega }_x，{\omega }_c$定义可得：
$${\omega }_x=\sqrt{3}$$
$K=4$时：
$$G(\mathrm{j}{\omega }_x)=-0.5，h=2$$

$${\omega }_c=\sqrt{16^{\frac{1}{3}}-1}=1.233，\angle [G(\mathrm{j}{\omega }_c)]=-152.9°，\gamma =27.1°$$

$K=10$时：
$$G(\mathrm{j}{\omega }_x)=-1.25，h=0.8$$

$${\omega }_c=1.908，\angle [G(\mathrm{j}{\omega }_c)]=-187.0°，\gamma =-7.0°$$

4.3 关于相角裕度和幅值裕度的几点说明

1. 控制系统的相角裕度和幅值裕度是系统的极坐标图对$(-1,\mathrm{j}0)$点靠近程度的度量；这两个裕量可以用来作为设计准则；
2. 只用幅值裕度或相角裕度，都不足以说明系统的相对稳定性；为了确定系统的相对稳定性，必须同时给出这两个量；
3. 对于最小相位系统，只有当相角裕度和幅值裕度都是正值时，系统才是稳定的，负的裕度表示系统不稳定；
4. 适当的相角裕度和幅值裕度可以防止系统中元件老化造成的影响，且指明了频率值；为了得到满意的性能，相角裕度应当为$30°～60°$，幅值裕度应当大于$6dB$；
5. 要求相角裕度在$30°$和$60°$之间，即在伯德图中，对数幅值曲线在截止频率处的斜率应大于$-40dB/dec$；在大多数实际情况中，为了保证系统稳定，要求截止频率处的斜率为$-20dB/dec$；如果截止频率上的斜率为$-40dB/dec$，则系统可能是稳定的，可能是不稳定的；如果在截止频率处的斜率为$-60dB/dec$，或更陡，则系统多半是不稳定的；