单调栈题目：移掉 K 位数字

题目

标题和出处

标题：移掉 K 位数字

出处：402. 移掉 K 位数字

难度

6 级

题目描述

要求

给你一个以字符串表示的非负整数 $\text{num}$ 和一个整数 $\text{k}$，移除这个数中的 $\text{k}$ 位数字，使得剩下的数字最小。请你以字符串形式返回这个最小的数字。

示例

示例 1：

输入：$\text{num = "1432219", k = 3}$
输出：$\text{"1219"}$
解释：移除三个数字 $\text{4}$、$\text{3}$ 和 $\text{2}$ 形成一个新的最小的数字 $\text{1219}$。

示例 2：

输入：$\text{num = "10200", k = 1}$
输出：$\text{"200"}$
解释：移除首位的 $\text{1}$ 剩下的数字为 $\text{200}$。注意输出不能有任何前导零。

示例 3：

输入：$\text{num = "10", k = 2}$
输出：$\text{"0"}$
解释：从原数字移除所有的数字，剩余为空就是 $\text{0}$。

数据范围

• $\text{1}\le \text{k}\le \text{num.length}\le {\text{10}}^{\text{5}}$
• $\text{num}$ 只包含数字
• 除了 $\text{0}$ 本身之外，$\text{num}$ 不含任何前导零

解法

思路和算法

首先考虑一个简化的问题：从 $\text{num}$ 中移除一位数字，使得剩下的数字最小。由于只移除一位数字，因此剩下的数字的长度是固定的，为了使得剩下的数字最小，应该使高位的数字尽可能小。可能有两种情况，以下是两种情况和对应的策略：

1. 存在下标 $i$ 使得 $\text{num}[i]>\text{num}[i+1]$，则找到满足该要求的最小的下标 $i$，将下标 $i$ 处的数字移除之后，剩下的数字最小；

2. 不存在下标 $i$ 使得 $\text{num}[i]>\text{num}[i+1]$，则将 $\text{num}$ 的最后一个数字移除，剩下的数字最小。

对于上述两种情况的策略的正确性说明如下。假设原始 $\text{num}$ 的长度是 $n$，则比较数字大小都是比较原始 $\text{num}$ 的前 $n-1$ 位数和移除一位数字之后的 $n-1$ 位数。

对于第 1 种情况，满足 $\text{num}[i]>\text{num}[i+1]$ 的任意一个下标 $i$ 处的数字被移除之后，剩下的数字都会变小，移除的数字所在的位越高，则剩下的数字比原始 $\text{num}$ 减少得越多。

对于第 2 种情况，如果移除的数字不是最后一个，都会导致剩下的数字变大，只有在移除最后一个数字的情况下，剩下的数字才会保持不变。

对于这道题，从 $\text{num}$ 中移除 $k$ 位数字使得剩下的数字最小，可以基于上述策略得到一个解法：每次从 $\text{num}$ 中移除一位数字，使得移除一位数字之后剩下的数字最小，执行 $k$ 次。该解法的时间复杂度在最坏情况下是 $O(nk)$，会超出时间限制，因此需要优化。

由于上述策略优先考虑移除左边的数字，因此可以从左到右遍历 $\text{num}$，在遍历过程中进行移除操作，只能移除 $k$ 位数字。为了使得移除操作符合上述策略，可以使用单调栈，单调栈存储数字，满足从栈底到栈顶的数字单调递增。

从左到右遍历 $\text{num}$，对于每个数字，进行如下操作：

1. 如果栈不为空、栈顶数字大于当前数字且已经移除的数字个数小于 $k$，则将栈顶数字出栈，重复该操作直到上述条件不满足（三个条件之一不满足即停止）；

2. 将当前数字入栈。

遍历结束之后，如果已经移除的数字个数小于 $k$，则需要继续移除数字，移除数字的方法是将栈顶数字出栈，直到移除的数字个数达到 $k$。此时，栈内数字按照从栈底到栈顶的顺序拼接得到的字符串为从 $\text{num}$ 中移除 $k$ 个数字之后的最小的数字，将该字符串称为「结果字符串」。

由于除了 $0$ 以外的任何数字都不能有前导零，因此还需要移除结果字符串中的前导零。移除前导零的做法是，在结果字符串中寻找第一个不是 $0$ 的数字，并将该数字前面的数字全部删除，如果结果字符串中的数字都是 $0$，则在移除前导零之后，结果字符串变为空。

在移除前导零之后，如果结果字符串为空，则返回 $\text{“0"}$，否则返回结果字符串。

具体实现方面，可以用 Java 的 $\text{StringBuffer}$ 类或 $\text{StringBuilder}$ 类的对象 $\text{sb}$ 模拟栈操作，在末尾添加和删除字符等价于入栈和出栈操作，移除前导零时找到 $\text{sb}$ 的第一个不是 $0$ 的数字所在下标，从该下标开始的部分为结果字符串，如果 $\text{sb}$ 的所有数字都是 $0$，则结果字符串为空，返回 $\text{“0"}$。

以下是示例 1 的计算过程，其中 $\text{num}=\text{“1432219"}$，$k=3$。

1. 下标 $0$ 处的数字是 $1$，将 $1$ 入栈，$\text{sb}=\text{“1"}$。

2. 下标 $1$ 处的数字是 $4$，将 $4$ 入栈，$\text{sb}=\text{“14"}$。

3. 下标 $2$ 处的数字是 $3$，由于 $4>3$，因此将 $4$ 出栈，将 $3$ 入栈，$\text{sb}=\text{“13"}$，共移除 $1$ 个数字。

4. 下标 $3$ 处的数字是 $2$，由于 $3>2$，因此将 $3$ 出栈，将 $2$ 入栈，$\text{sb}=\text{“12"}$，共移除 $2$ 个数字。

5. 下标 $4$ 处的数字是 $2$，将 $2$ 入栈，$\text{sb}=\text{“122"}$，共移除 $2$ 个数字。

6. 下标 $5$ 处的数字是 $1$，由于 $2>1$，因此将 $2$ 出栈，将 $1$ 入栈，$\text{sb}=\text{“121"}$，共移除 $3$ 个数字。

7. 由于已经移除 $3$ 个数字，因此不移除更多的数字，将剩下的数字入栈，$\text{sb}=\text{“1219"}$。

8. 由于 $\text{sb}$ 没有前导零，结果字符串就是 $\text{“1219"}$。

代码

class Solution {
    public String removeKdigits(String num, int k) {
        int length = num.length();
        StringBuffer sb = new StringBuffer();
        int top = -1;
        for (int i = 0; i < length; i++) {
            char c = num.charAt(i);
            while (sb.length() > 0 && sb.charAt(top) > c && k > 0) {
                sb.deleteCharAt(top);
                top--;
                k--;
            }
            sb.append(c);
            top++;
        }
        while (k > 0) {
            sb.deleteCharAt(top);
            top--;
            k--;
        }
        int remainLength = sb.length();
        int startIndex = 0;
        while (startIndex < remainLength && sb.charAt(startIndex) == '0') {
            startIndex++;
        }
        return startIndex == remainLength ? "0" : sb.substring(startIndex).toString();
    }
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n+k)$，其中 $n$ 是字符串 $\text{num}$ 的长度。需要遍历字符串 $\text{num}$ 进行移除 $k$ 位数字的操作，由于每个数字最多入栈和出栈各一次，其中最多有 $k$ 个数字出栈，因此时间复杂度是 $O(n+k)$。由于 $k\le n$，因此时间复杂度也可以表示成 $O(n)$。

• 空间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 是字符串 $\text{num}$ 的长度。空间复杂度主要取决于栈空间，栈内元素个数不会超过 $n$。