几何角度理解线性代数（2）: 逆矩阵、列空间与零空间

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• 矩阵是操纵空间的神器；
• 秩的定义是列空间的维数，所谓的“满秩”指的是秩与列数相等。

概述

逆矩阵

首先看线性方程组的表示：

对于线性方程组的几何直觉，我们可以将其视作对$\vec{x}$寻找一种变换方式，使得其在变换之后变成$\vec{v}$，示意图如下：

那么如何来找到这种变化，我们通过判断行列式是是否为0，这两种情况分别进行讨论。

行列式不为0时

首先看更为通用的行列式不为0的情况，我们可以取到$\vec{x}$经过$A$变换后得到唯一的$\vec{v}$，换句话说，我们也可以通过追踪$\vec{v}$的逆向变换来得到$\vec{x}$，这里我们引入矩阵的逆：

行列式为0时

然而，

Rank 秩

列空间

满秩

满秩情况下的零向量：

零向量一定在列空间中

在非满秩情况下，会有一系列向量变换为零向量。

零空间

非方阵情况

二维到三维

仍然是满秩的，因为列空间的维数与输入空间的维数相等。

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三维到二维

二维到一维