在统计物理理论中，有很多物理量被规定了，但是最终在实用的时候并没有被用到，即没有出现在最终的结果中，这些量只在理论模型的推导中起作用，其量一般无法确定，在推导的最后还会被约掉，仿佛这个物理量只是为了起一个“过渡”作用。这是很有意思的一点，因为在很多理论的发展中都会有这样的脚手架一般的量，用的时候则用，不用的时候则舍弃掉。
难道这代表了一种物理的抽象结构？为何很多量会被约掉？这代表着什么呢？
通过下述案例的积累，希望最终能够找到一定规律性的东西。
如前所述，一般情形下气体满足经典极限条件，遵从玻尔兹曼分布。下面根据玻尔兹曼分布研究气体分子质心的平移运动，导出气体分子的速度分布律。
根据玻尔兹曼分布公式：
a l = ω l e − α − β ε l a_{l}=\omega_{l}e^{-\alpha-\beta \varepsilon_{l}} al=ωle−α−βεl
分子质心运动的能量为：
ε = 1 2 m ( p x 2 + p y 2 + p z 2 ) \varepsilon=\frac{1}{2m}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}) ε=2m1(px2+py2+pz2)
在体积 V V V 内，在 d p x d p y d p z \mathrm{d}p_{x}\mathrm{d}p_{y}\mathrm{d}p_{z} dpxdpydpz的动量范围内，分子质心平动的微观状态数为：
V h 3 d p x d p y d p z \frac{V}{h^{3}}\mathrm{d}p_{x}\mathrm{d}p_{y}\mathrm{d}p_{z} h3Vdpxdpydpz
因此，在体积 V V V 内，质心平动动量在 d p x d p y d p z \mathrm{d}p_{x}\mathrm{d}p_{y}\mathrm{d}p_{z} dpxdpydpz 范围内的分子数为：
V h 3 e − α − 1 2 m k T ( p x 2 + p y 2 + p z 2 ) d p x d p y d p z \frac{V}{h^{3}}e^{-\alpha-\frac{1}{2mkT}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2})}\mathrm{d}p_{x}\mathrm{d}p_{y}\mathrm{d}p_{z} h3Ve−α−2mkT1(px2+py2+pz2)dpxdpydpz
参数 α \alpha α 由总分子数为 N N N 的条件定出：
V h 3 ∭ e − α − 1 2 m k T ( p x 2 + p y 2 + p z 2 ) d p x d p y d p z = N \frac{V}{h^{3}}\iiint e^{-\alpha-\frac{1}{2mkT}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2})}\mathrm{d}p_{x}\mathrm{d}p_{y}\mathrm{d}p_{z}=N h3V∭e−α−2mkT1(px2+py2+pz2)dpxdpydpz=N
将积分求出，整理后可得：
e − α = N V ( h 2 2 π m k T ) 3 / 2 e^{-\alpha}=\frac{N}{V}\left(\frac{h^{2}}{2\pi mkT}\right)^{3/2} e−α=VN(2πmkTh2)3/2
将上式代入到单位动量范围内的分子数公式中：
N ( 1 2 π m k T ) 3 / 2 e − 1 2 m k T ( p x 2 + p y 2 + p z 2 ) d p x d p y d p z N\left(\frac{1}{2\pi mkT}\right)^{3/2}e^{-\frac{1}{2mkT}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2})}\mathrm{d}p_{x}\mathrm{d}p_{y}\mathrm{d}p_{z} N(2πmkT1)3/2e−2mkT1(px2+py2+pz2)dpxdpydpz
上式与 h h h 的数值无关。
由于 h h h 的数值可以任取，所以类比过来，容易验明，由玻尔兹曼经典统计公式 a l = N Z 1 e − β ε l Δ ω l h 0 r a_{l}=\frac{N}{Z_{1}}e^{-\beta\varepsilon_{l}\frac{\Delta\omega_{l}}{h_{0}^{r}}} al=Z1Ne−βεlh0rΔωl 也可以得出上述结论。最终 h 0 h_{0} h0 也会被约掉消失不见。
上述中的 h h h 和 h 0 h_{0} h0 都作为一个过渡量，只在模型中起到作用，在具体应用中一般会消失不见（量子除外）。
另外，上述也说明了一点，上述结论在经典和量子模型中的结论一致。那么在物理中是否还有某些结论在经典和量子之间是一致的？
热力学·统计物理 by 汪志诚