马尔可夫矩阵与概率的思想有关，马尔可夫矩阵满足
有时也定义马尔可夫矩阵的每行元素总和为1，两个情况不冲突：
" 每列元素的总和为1"与"马尔可夫矩阵右乘列向量"配套
" 每行元素的总和为1"与"行向量左乘马尔可夫矩阵"配套
马尔可夫矩阵的性质：
证明：马尔可夫矩阵必然有特征值 λ i = 1 \lambda_i=1 λi=1（对应的特征向量 x i \boldsymbol x_i xi的所有元素非负，证明略）
只要证明 A − I \mathbf A-\mathbf I A−I是奇异矩阵即可（对应于 d e t ( A − λ I ) = 0 , λ = 1 det(\mathbf A-\lambda\mathbf I)=0,\lambda=1 det(A−λI)=0,λ=1，这保证了方程有非零解/ A \mathbf A A有特征向量）
由于马尔可夫矩阵 A \mathbf A A每列元素的总和为1，故 A − I \mathbf A-\mathbf I A−I每列元素总和为0，也就是说， A − I \mathbf A-\mathbf I A−I的行向量相加等于就是0向量，因此行向量线性相关（ ( A − I ) T x = 0 (\mathbf A-\mathbf I)^T\boldsymbol x=0 (A−I)Tx=0有非零解 [ 1 1 . . . 1 ] T [1 \quad1\quad... \quad1]^T [11...1]T），矩阵为奇异矩阵，证毕
7-2复习：矩阵的幂乘以向量 A k u 0 \boldsymbol{A}^k \mathbf{u}_{0} Aku0，可以简化表示为通式 A k u 0 = S Λ k S − 1 S c = S Λ k c = c 1 λ 1 k x 1 + c 2 λ 2 k x 2 + … + c n λ n k x n \boldsymbol{A}^k \mathbf{u}_{0}=\boldsymbol{S}\boldsymbol{\Lambda}^k\boldsymbol{S}^{-1}\boldsymbol{S} \mathbf{c}=\boldsymbol{S}\boldsymbol{\Lambda}^k\mathbf{c}=c_{1} \lambda_{1}^{k} \mathbf{x}_{1}+c_{2} \lambda_{2}^{k} \mathbf{x}_{2}+\ldots+c_{n} \lambda_{n}^{k} \mathbf{x}_{n} Aku0=SΛkS−1Sc=SΛkc=c1λ1kx1+c2λ2kx2+…+cnλnkxn
其中需要将 u 0 \mathbf{u}_{0} u0表示为特征向量的线性组合 u 0 = S c \mathbf{u}_{0}=\boldsymbol{S} \mathbf{c} u0=Sc，并且注意前提是需要一整套线性无关的特征向量/或者说特征向量矩阵 S \boldsymbol{S} S可逆（否则无法保证任意 u 0 \mathbf{u}_{0} u0都可以被拆解）
关于矩阵的幂的“稳态”：特征值 ∣ λ i ∣ < 1 |\lambda_i|<1 ∣λi∣<1的项最终会消失，特征值 ∣ λ i ∣ = 1 |\lambda_i|=1 ∣λi∣=1的项恒定，特征值 ∣ λ i ∣ > 1 |\lambda_i|>1 ∣λi∣>1的项最终不断增长
有两个城市，每年这两个城市各自有一定比例留下/迁移到另一个城市（概率总和为1）
这个问题的特点是，人口总数是固定不变的，并且对于某个城市，留下或迁移的比例总和为1，因此可用马尔可夫矩阵来描述
两个城市的人口用向量
[
u
A
u
B
]
\left[uAuB\right]
[uAuB]表示，假如每年的变换情况为（假设每年的人口流动概率情况都相同）
[
u
A
u
B
]
t
=
k
+
1
=
[
.
9
.
2
.
1
.
8
]
[
u
A
u
B
]
t
=
k
\left[uAuB\right]_{t=k+1} =\left[.9.2.1.8\right]\left [uAuB\right]_{t=k}
[uAuB]t=k+1=[.9.1.2.8][uAuB]t=k
其中，结果的第一行 u A u_A uA来自于马尔可夫矩阵的第一行，表示 A A A城市有0.9的人口留下， B B B城市有0.2的人口迁移到 A A A城市，最终第二年 u A = . 9 u A + . 2 u B u_A=.9u_A+.2u_B uA=.9uA+.2uB
若初态为 u 0 = [ 0 1000 ] u_0=\left[01000\right] u0=[01000]，求第 k k k年两城市的人口分布情况
上面的例子验证了：