• 数据结构 手撕AVL树（C++实现）

    文章目录

    前言

    如果map/set的底层使用二叉搜索树实现，当插入数据接近有序时，二叉搜索树就会退化成单支树，搜索效率退化成O(n)。为解决退化的问题，需要map/set底层实现的二叉搜索树做平衡处理

    AVL树的概念

    作为平衡树的一种，AVL树有以下性质

    1.左右子树都是AVL树
    2.左右子树的高度差（又称平衡因子，平衡因子=右树高度-左树高度）的绝对值不超过1

    AVL树的搜索效率为O(logN)，如果树有n个节点，它的高度保持在logN，AVL树做到了严格的平衡

    AVL树实现

    结构定义

    template <class K, class V>
struct AVLNode
{
	pair<K, V> _kv;
	AVLNode* _left;
	AVLNode* _right;
	AVLNode* _parent;

	int _bf;

	AVLNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_bf(0)
		,_kv(kv)
	{}
};

template <class K, class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLNode<K, V> Node;
public:
	bool Insert(const pair<K, V>& kv);
	
	void Inorder() { _Inorder(_root); }
	void Leorder() { _Leorder(_root); }
	bool IsAVLTree() { return _IsAVLTree(_root); }
private:
	Node* _root = nullptr;
	void RotateL(Node* parent);
	void RotateR(Node* parent);
	void RotateRL(Node* parent);
	void RotateLR(Node* parent);
	void _Inorder(Node* root);
	void _Leorder(Node* root);
	int _Height(Node* root);
	bool _IsAVLTree(Node* root);
};

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    AVL树的节点实现了三叉链，即增加了一个parent指针，另外bf作为平衡因子用来平衡整颗树。

    左单旋

    在这里插入图片描述
    A,B,C是三颗高度相同的子树

    左单旋：往较高的右子树的右边插入节点，由于parent右子树subR比parent左子树A高出一个节点，所以只要往右子树的subR插入节点，subR的高度都将会高于2个节点，不满足AVL树的性质。由于parent小于subR，将parent作为subR的左子树，B大于parent，将B作为parent的右子树。旋转前subR的平衡因子为1，右边较高，旋转后subR达到平衡，subR作为新的根节点。

    template <class K, class V>
void AVLTree<K, V>::RotateL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;

	subR->_left = parent;
	parent->_right = subRL;

	pparent = parent->_parent;
	parent->_parent = subL;

	if (subRL)
		subRL->_parent = parent;
	if (_root == parent) 
	{
		_root = subL;
		subR->_parent = nullptr;    
	}
	else // 该子树是树的一部分，将子树链接到原树
	{
		subR->_parent = pparent;
		if (subR->_kv.first < pparent->_kv.first)
		{
			pparent->_left = subR;
		}
		else
		{
			pparent->_right = subR;
		}
	}

	parent->_bf = 0;
	subR->_bf = 0;
	if (subRL)
		subRL->_bf = 0;
}

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    右单旋

    在这里插入图片描述
    右单旋：往较高的左子树的左边插入节点，将parent向右旋转，parent做subL的右孩子，subL的右孩子做parent的左孩子，subL做根。

    
template <class K, class V>
void AVLTree<K, V>::RotateR(Node* parent)
{
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;

	subL->_right = parent;
	parent->_left = subLR;

	pparent = parent->_parent;
	parent->_parent = subL;

	if (subLR)
		subLR->_parent = parent;
	if (_root == parent)
	{
		_root = subL;
		subL->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		subL->_parent = pparent;
		if (subL->_kv.first < pparent->_kv.first)
		{
			pparent->_left = subL;
		}
		else
		{
			pparent->_right = subL;
		}
	}

	parent->_bf = 0;
	subL->_bf = 0;
	if (subLR)
		subLR->_bf = 0;
}

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    右左双旋

    在这里插入图片描述
    右左双旋：插入较高右子树的左边，parent的平衡因子为1，插入后为2，需要进行调整。其中B，C的高度为h-1，只有当h大于等于1时才符和上图的情况。parent的右子树subR较高，往subR的右边插入节点，需要左单旋，而往subR的左边subRL的任意子树插入节点就需要进行右左双旋。以往B子树插入节点，subRL的平衡因子为-1，subR也为-1，parent为2，先对subR进行右单旋，subR做subRL的右子节点，subRL之前的右子节点做subR的左子节点，旋转后的树就是一个左单旋的情况，对parent进行左单旋，完成后parent的平衡因子为0，subR为1，subRL为0。

    当往subRL的右子树插入节点，右左双旋之后subRL的平衡因子为0，parent为-1，subR为0。

    还有一种特殊情况，上面讨论的范围都是在h大于等于1时，当h为0，即只有parent，subR，subRL的情况，旋转后每个节点的平衡因子都为0。

    template <class K, class V>
void AVLTree<K, V>::RotateRL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;

	size_t bf = subRL->_bf;
	RotateR(subR);
	RotateL(parent);

	if (bf == 0)
	{
		subR->_bf = 0;
		subRL->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}
	else if (bf == -1)
	{
		subR->_bf = 1;
		subRL->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}
	else if (bf == 1)
	{
		subR->_bf = 0;
		subRL->_bf = 0;
		parent->_bf = 1;
	}
	else
	{
		assert(false);
	}
}

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    左右双旋

    在这里插入图片描述

    同样，往较高左子树的左边插入节点，需要右单旋，而往较高左子树的右边插入节点需要左右双旋，之后平衡因子的更新看着图就能很快分析出来。如果节点插入到B后面，subL平衡因子为0，parent为1，subLR为0；插入到C后面，subL为-1，parent为0，subLR为0；当只有parent，subL，subLR三个节点时，三者都为0。

    template <class K, class V>
void AVLTree<K, V>::RotateLR(Node* parent)
{
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;

	size_t bf = subLR->_bf;
	RotateL(subL);
	RotateR(parent);
	
	if (bf == 0)
	{
		subL->_bf = 0;
		subLR->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}
	else if (bf == -1)
	{
		subL->_bf = 0;
		subLR->_bf = 0;
		parent->_bf = 1;
	}
	else if (bf == 1)
	{
		subL->_bf = -1;
		subLR->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;	
	}
	else
	{
		assert(false);
	}
}

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    Insert代码

    template <class K, class V>
bool AVLTree<K, V>::Insert(const pair<K, V>& kv)
{
	// 先按搜索树的规则插入
	// 然后更新平衡因子

	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(kv);
		_root->_bf = 0;
		return true;
	}

	Node* cur = _root;
	Node* parent = nullptr;
	while (cur)
	{
		if (kv.first < cur->_kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else if (kv.first > cur->_kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else
		{
			return false;
		}
	}

	if (kv.first < parent->_kv.first)
	{
		cur = new Node(kv);
		parent->_left = cur;
		cur->_parent = parent;
	}
	else
	{
		cur = new Node(kv);
		parent->_right = cur;
		cur->_parent = parent;
	}

	// 更新平衡因子
	while (parent)
	{
		if (parent->_left == cur)
		{
			parent->_bf--;
		}
		else
		{
			parent->_bf++;
		}

		// 检查平衡因子，是否要旋转
		if (parent->_bf == 0)
		{
			break;
		}
		else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
		{
			// 继续更新
			cur = parent;
			parent = parent->_parent;
		}
		else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
		{
			// 左单旋
			// 较高右子树的右边插入
			if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
			{
				RotateL(parent);
			}
			// 右单旋
			// 较高左子树的左边插入
			else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
			{
				RotateR(parent);
			}
			// 右左双旋
			// 较高右树的左边插入
			else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
			{
				RotateRL(parent);
			}
			// 左右双旋
			// 较高左树的右边插入
			else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
			{
				RotateLR(parent);
			}
			break;
		}
		else
		{
			// 未插入前的平衡树出现问题
			assert(false);
		}
	}
	return true;
}

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    验证AVL树

    根据AVL树的特征：左右子树高度差不超过1，所有的子树都是AVL树，递归树的每个节点，以每个节点为根节点，判断这样的树是否为AVL树。

    template <class K, class V>
bool AVLTree<K, V>::_IsAVLTree(Node* root)
{
	assert(root);

	int LHeight = _Height(root->_left);
	int RHeight = _Height(root->_right);

	if (RHeight - LHeight == -2 || RHeight - LHeight == 2)
	{
		cout << "平衡因子异常" << endl;
		return false;
	}
	if (RHeight - LHeight != root->_bf)
	{
		cout << "平衡因子不符合实际" << endl;
		return false;
	}

	if (root->_left)
		_IsAVLTree(root->_left);
	if (root->_right)
		_IsAVLTree(root->_right);

	return true;
}

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    • 求出左右子树的高度，判断相减后的绝对值是否为2，若为2，打印出错提示
    • 将两者高度相减后判断是否对于平衡因子，不相等则打印出错提示
    • 最后判断左右子树是否不为空，若不为空则继续递归左右子树
    • 不断得用上面的三个标准判断每一颗子树是否为AVL树在这里插入图片描述
      最后的结果是：通过插入随机数验证

    AVL树 VS 红黑树

    • 相同的地方：两者的插入，删除和查找的效率都是logN
    • 不同的地方：
      • AVL树较红黑树严格，保持了高度的平衡，所以查找可能会快一些
      • 红黑树的调整频率比AVL树低，它没有那么严格，所以插入和删除会快一些，但也只是少了几次的旋转
      • 两者的实现难度都很高，需要考虑很多的边界情况，但是红黑树较AVL更好理解，它只有两种颜色，而AVL有四种平衡因子，情况越多，就越需要越细的考虑

    综上所述，两种各有优劣，我们需要根据不同的场景选择不同的结构

    • 如果查找操作比较频繁，插入和删除操作少，那么选择AVL树合适
    • 如果插入和删除的操作频繁，删除操作较少，那么选择红黑树合适
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  • 原文地址：https://blog.csdn.net/weixin_61432764/article/details/126516991