一、$50\%$ 概率

先考虑一个最简单的情形，即生成的布尔型张量中，每个元素等于 True 的概率都为 $50\%$。

思路很简单，我们只需创建两个形状相同的整型张量，里面的元素非 $0$ 即 $1$，然后判断它们是否相等：

def randbool(*size):
    return torch.randint(2, size) == torch.randint(2, size)
1
2

例如：

print(randbool(3, 3))
# tensor([[False, False, False],
#         [False,  True,  True],
#         [ True, False,  True]])
1
2
3
4

这是因为，对于每一个元素，它在第一个张量中的取值只有两种可能：$0$ 或 $1$，在第二个张量中的取值也只有两种可能：$0$ 或 $1$，因此共有四种情形：

0 = = 0 ⇒    True 0 = = 1 ⇒    False 1 = = 0 ⇒    False 1 = = 1 ⇒    True 0==0⇒True0==1⇒False1==0⇒False1==1⇒True

0==0⇒0==1⇒1==0⇒1==1⇒​TrueFalseFalseTrue​

可以看出 True 的概率为 $2/4=0.5$。

我们还可以通过程序来验证 True 的概率：

s = 0
for i in range(10 ** 5):
    s += randbool(4, 4).sum().item()
s = s / 10 ** 5
print(s / 16)
# 0.499908125
1
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3
4
5
6

将其封装成函数便于之后使用

def true_prob(fun):
    s = 0
    for i in range(10 ** 6):
        s += fun(10, 10).sum().item()
    return s / 10 ** 8
1
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4
5

二、$1/3$ 概率

再来考虑一个也比较简单的情形，即生成的布尔型张量中，每个元素等于 True 的概率都为 $1/3$。

假设对于每一个元素，它在第一个张量中的取值只有两种可能：$0,1$，但在第二个张量中的取值有三种可能：$0,1,2$，因此共有六种情形：

0 = = 0 ⇒    True 0 = = 1 ⇒    False 0 = = 2 ⇒    False 1 = = 0 ⇒    False 1 = = 1 ⇒    True 1 = = 2 ⇒    False 0==0⇒True0==1⇒False0==2⇒False1==0⇒False1==1⇒True1==2⇒False

0==0⇒0==1⇒0==2⇒1==0⇒1==1⇒1==2⇒​TrueFalseFalseFalseTrueFalse​

可以看出 True 的概率为 $2/6=1/3$。

代码实现如下：

def randbool(*size):
    return torch.randint(2, size) == torch.randint(3, size)
1
2

验证：

print(true_prob(randbool))
# 0.33325818
1
2

三、任意概率

有没有可能指定 True 的概率为任意概率 $p$ 呢？

答案是可以的，不过我们先来解释一下为什么之前的方法会行不通。

假设第一个张量的取值范围为 $0,1,\cdots ,m-1$，第二个张量的取值范围为 $0,1,\cdots ,n-1$，则总共会产生 $mn$ 个判断条件，而这 $mn$ 个判断条件里只有 $\min (m,n)$ 个为 True，因此 True 的概率为

P ( True ) = min ⁡ ( m , n ) m n = { 1 n , m ≤ n 1 m , m > n = 1 max ⁡ ( m , n ) P(\text{True})=\frac{\min(m,n)}{mn}= {1n,m≤n1m,m>n

=\frac{1}{\max(m,n)} P(True)=mnmin(m,n)​={n1​,m1​,​m≤nm>n​=max(m,n)1​

$\forall p\in (0,1)$，令 $P(\text{True})=p$，则有 $\max (m,n)=\frac{1}{p}$，左边是整数，右边是浮点数，因此无法建立相等关系。即使对右边取整，我们也无法良好地去逼近这个概率 $p$。

例如，取 $p=0.7$，则 $\frac{1}{p}\approx 1.428$，对其取整后为 $1$ 或 $2$，此时令 $\max (m,n)$ 为 $1$ 或 $2$，则 $P(\text{True})$ 为 $0.5$ 或 $1$，与真实的 $0.7$ 相差甚远。

对于以上情形，只有当 $p$ 充分小时才能良好地近似 $p$，而我们希望的是 $\forall p\in (0,1)$ 都能有良好的近似。为此考虑不再将张量中每个元素的值限定为整数，而是将其放松至 $(0,1)$ 区间内的浮点数。对于每个元素，如果其值小于 $p$，则将该元素设置为 True，否则为 False，如下：

def randbool(size, p=0.5):
    return torch.rand(*size) < p


def true_prob(fun):
    s = 0
    for i in range(10 ** 6):
        s += fun((10, 10), 0.7).sum().item()
    return s / 10 ** 8


print(true_prob(randbool))
# 0.69995753
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