MATH-现代=矩阵

1、基本概念

1. ｜A｜是矩阵的行列式也叫detA，A一定是n阶矩阵，也就是方阵，因为行列式是方形的，有多少行就有多少列
2. 元素都是零的矩阵是零矩阵
3. A=B则AB对应元素全部相等,AB需要是同型矩阵

2、矩阵运算法则

1. 同型矩阵的加减：同型矩阵才可加减，对应元素加减
2. 任何矩阵的数乘kA: A中所有元素都乘以k
3. 加减可交换可结合，数乘可结合可分配
4. 矩阵乘法
5. 前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数
6. 乘法可分配，可结合，但是不可以交换顺序，单位矩阵和0矩阵除外
7. 矩阵转置：第一行变成第一列，以此类推

3、伴随矩阵

1. 前提也是n阶矩阵，只有n阶矩阵才有行列式
2. 原来矩阵的行的每个元素的代数余子式变成对应的列得到新的矩阵
3. 二阶矩阵的伴随矩阵是主对角线元素交换，副对角线元素变号
   

4、可逆矩阵

1. AB都是n阶方阵，AB=BA=E，AB互为逆矩阵，AB是非奇异矩阵
2. 初等变换
   

5、初等矩阵

1. 单位矩阵经过一次初等变换

6、矩阵等价

1. A经过有限次初等变换得到B，则A和B等价，A～=B

7、正交矩阵

1. AAT = E , ATA = E
   

8、矩阵运算定理

1. AB都是n阶方阵，矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的乘积｜AB｜ = ｜A｜｜B｜
2. 可逆矩阵唯一
3. n阶方阵可逆=》行列式不等于0+秩是n+行列向量线性无关+可以经过初等变换划为单位矩阵+可以是初等矩阵的乘积+0不是特征值
4. 可逆矩阵 = 乘积
5. 矩阵的乘积是前一个的列数等于后一个的行数，得到的矩阵是前一个的行数和后一个的列数
1
2
3
4
5

14. 初等矩阵相关
    6. 初等行变换就是左乘初等矩阵，初等列变换就是右乘初等矩阵
    7. 初等矩阵都可逆而且逆矩阵是同类型的初等矩阵
    1. Ei(k)表示第i行乘以k得到的初等矩阵，其逆矩阵是i行乘以1/k
    2. i+kj的逆矩阵是i-kj
    3. 交换两行的逆矩阵是在交换过来

15. 等价矩阵相关

    1. AB等价的充分必要条件是PAQ = B，即A可以经过初等变换变成B
    2. 初等变换不改变秩，即等价矩阵秩相同
    3. A的秩等于A的行秩和A的列秩

9、相关公式

9.1 转置

1. 转置的转置等于原矩阵，换个位置在换过啦
2. 和的转置等于转置的和，加了换个位置，和换个位置再加是一样的
3. (kA)T = kAT 乘了之后再转置和转置之后在乘结果是一样的，
4. 乘积的转置等于换个位置转置的乘积，设A是mn,A的转置是nm，B时ns，B的转置式sn，AB是ms，AB的转置是sm，BTAT是sm，ATBT一般是不可以乘的

9.2 可逆

可逆矩阵的前提是AB都是方阵
任何矩阵都可以求逆，但是只有方阵才可以叫做可逆矩阵

1. 逆矩阵的逆矩阵是自己，可以引申，偶次逆是自己，奇数次逆是逆矩阵
2. 数乘的逆矩阵是原来矩阵的逆矩阵乘以该数的倒数，因为原矩阵和逆矩阵的乘积等于单位矩阵，k和k的倒数乘积为1
3. 乘积的逆矩阵等于逆矩阵换个位置的乘积，和转置的格式是一样的
4. 矩阵n次方的逆等于矩阵逆的n次方
5. 逆的转置等于转置的逆
6. 逆的行列式等于原行列式的倒数
7. A-1 = A*/|A|， 逆=伴随/行列式

9.3 伴随

1. AA = A*A = |A|E* 伴随矩阵和原矩阵的乘积是数量阵｜A｜E，同一行元素和代数余子式的乘积和是行列式，不同行和余子式的乘积和是0
2. 右乘A-1 => A* = |A|A-1
3. 同时取行列式得到 => 伴随矩阵的行列式等于原矩阵行列式的n-1次方
4. 伴随矩阵的逆矩阵 = 逆矩阵的伴随
5. 伴随矩阵的逆矩阵 = 原矩阵/行列式
6. 原矩阵/行列式 = 伴随矩阵的逆矩阵
7. 原矩阵数乘k的伴随矩阵 = 原矩阵的伴随矩阵数乘k的n-1次方
8. 伴随矩阵的伴随矩阵 = 原矩阵数乘行列式的n-2次方
9. 伴随矩阵的秩：
   1. 原矩阵满秩 = 伴随矩阵满秩
   2. 原矩阵n-1秩 = 伴随矩阵秩为1
   3. 原矩阵的秩比n-1小 = 伴随矩阵秩为0

秩

1. 转置、数乘 、加减、乘积
   
2. 逆矩阵、零矩阵、分块矩阵、等价矩阵
   

分块矩阵

1. 加减、乘积
   
2. 转置、n次方
   
3. 逆矩阵，主对角、逆对角
   

方程的解

1. 前提
   
2. 向量形式
   
3. 结论
   B的列向量是Ax = 0的解

线性表出

1. 行向量
   
2. 列向量