统计学补（似然函数+EM算法）

最大似然估计：利用已知的部分的样本信息，反推，使得最有可能使得这些样本呈现该结果的模型参数值。

比如，一个函数：P(x|θ），在x已知的条件下，求解θ的过程，此时，该函数为似然函数。

反之，在θ已知的条件下，求解x的过程，此时，该函数为概率函数。

类似于y=x^2,当x已知时，求解y为平方公式，反之，当y已知时，求解x为开方公式。

注意点：

最大似然估计是建立在总体分布已知的情况下才能使用；

最大似然估计默认样本分布是独立的。

问题求解过程：

给定样本分布，抽样样本集结果（x1,x2,x3,...xn）。

表示似然函数：L（θ）=

目标是：argmax(L(θ))

求解步骤：

取对数，

例子：来源:一文搞懂极大似然估计 - 知乎 (zhihu.com)

假如有一个罐子，里面有黑白两种颜色的球，数目多少不知，两种颜色的比例也不知。我 们想知道罐中白球和黑球的比例，但我们不能把罐中的球全部拿出来数。现在我们可以每次任意从已经摇匀的罐中拿一个球出来，记录球的颜色，然后把拿出来的球 再放回罐中。这个过程可以重复，我们可以用记录的球的颜色来估计罐中黑白球的比例。假如在前面的一百次重复记录中，有七十次是白球，请问罐中白球所占的比例最有可能是多少？

很多人马上就有答案了：70%。而其后的理论支撑是什么呢？

我们假设罐中白球的比例是p，那么黑球的比例就是1-p。因为每抽一个球出来，在记录颜色之后，我们把抽出的球放回了罐中并摇匀，所以每次抽出来的球的颜 色服从同一独立分布。

这里我们把一次抽出来球的颜色称为一次抽样。题目中在一百次抽样中，七十次是白球的,三十次为黑球事件的概率是P(样本结果|Model)。

如果第一次抽象的结果记为x1,第二次抽样的结果记为x2....那么样本结果为(x1,x2.....,x100)。这样，我们可以得到如下表达式：

P(样本结果|Model)

　　= P(x1,x2,…,x100|Model)

　　= P(x1|Mel)P(x2|M)…P(x100|M)

　　= p^70(1-p)^30.

我们已经有了观察样本结果出现的概率表达式了。那么我们要求的模型的参数，也就是求的式中的p。

那么我们怎么来求这个p呢？

不同的p，直接导致P（样本结果|Model）的不同。

好的，我们的p实际上是有无数多种分布的。

那么问题来了，既然有无数种分布可以选择，极大似然估计应该按照什么原则去选取这个分布呢？

答：采取的方法是让这个样本结果出现的可能性最大，也就是使得p^70(1-p)^30值最大，那么我们就可以看成是p的方程，求导即可！

=0

那么既然事情已经发生了，为什么不让这个出现的结果的可能性最大呢？这也就是最大似然估计的核心。

我们想办法让观察样本出现的概率最大，转换为数学问题就是使得：

p^70(1-p)^30最大，这太简单了，未知数只有一个p，我们令其导数为0，即可求出p为70%

 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

EM算法

算法收敛：趋近于一个值，而不是无限制的大或者小。

EM算法需要考虑两个问题：数据的分布是什么样的？分布参数是？

EM:  Exceptation maxmimum

来源：EM算法详解 - 知乎 (zhihu.com)

有一个男女身高的例子：

选择一批男生和女生，但是不知道男女的概率分布情况。

我们目前有100个男生和100个女生的身高，但是我们不知道这200个数据中哪个是男生的身高，哪个是女生的身高，即抽取得到的每个样本都不知道是从哪个分布中抽取的。这个时候，对于每个样本，就有两个未知量需要估计：

（1）这个身高数据是来自于男生数据集合还是来自于女生？

（2）男生、女生身高数据集的正态分布的参数分别是多少？

求解步骤：（1）初始化男女分布参数，比如，均值和方差；（2）判断200条数据中，哪些数据归为女生采样得到的数据，哪些数据归为男生数据集合；（3）根据划分的数据集合，重新估计参数；（4）利用更新之后的参数，重复（2）、（3），直到结果不在改变。

EM算法的步骤

输入：观察的数据为x={x1,x2,...xn},联合分布p(x,z;θ），条件分布p(z|x,θ），z是观察到的隐含数据，未知其分布。

（1）随机初始化参数初始值

（2）开始EM算法迭代。

E步是计算联合分布的条件概率期望。

似然函数：

M 步是极大化。

当θj+1不在改变的时候，算法收敛。整个过程结束。 

似然函数的推导过程为：