融合莱维飞行与黄金正弦的蚁狮优化算法

摘要：针对蚁狮优化算法较易陷入局部最优停滞、收敛精度低以及收敛速度较慢等问题,将莱维飞行机制和黄金正弦算法融合到蚁狮优化算法中,提出了融合莱维飞行与黄金正弦的蚁狮优化算法（LGSALO）。该算法利用Lévy飞行的变异机制对寻优过程中位置更新方式进行变异操作,可以改善种群多样性,使得算法跳出局部最优,提高全局寻优能力,并在一定程度上避免了算法的过早收敛;同时引入黄金正弦算法改进精英蚁狮的寻优方式,协调算法的全局探索与局部开发能力。

1.蚁狮优化算法

基础蚁狮优化算法的具体原理参考，我的博客：https://blog.csdn.net/u011835903/article/details/107726004

2. 改进蚁狮优化算法

2.1 Lévy 变异机制

Lévy 飞行的概率密度函数服从 Lévy 分布, 其函数如下:
$$P_{\alpha ,\beta }(x)=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\infty }\exp \left(r{q}^{\alpha }\right)\cos (qz)\mathrm{d}q\text{\hspace{1em}(10)}$$
其中:0< $\alpha ⩽2$ 控制 Lévy 分布图中峰的锐度, $r>0$ 控制分布图 形的跨度。当 $\alpha =2$ 时, Lévy 分布就是高斯分布, $\alpha =1$ 时, Lévy 分布就是柯西分布。对于非整数的 $\alpha$ 取值, 通过 Lévy 分布的 概率密度函数分析较为困难, 需要采用模拟方法来产生 Lévy 分布的随机步长。其位置更新公式㛎下:
$$x_i^{t+1}=x_i^t+\alpha \oplus \mathrm{L}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{vy}(\lambda )\text{\hspace{1em}(11)}$$
其中: $\alpha$ 为随机步长; $\oplus$ 为点乘; Lévy 为符合 Lévy 分布的随机搜索路径且符合以下约束:
$$\text{ Leˊvy }(\lambda )\sim \frac{\phi u}{|v{|}^{1/2}}\text{\hspace{1em}(12)}$$
其中: $u、v$ 服从标准正态分布; $\lambda =1.5$ 。
$$\phi =[\frac{\Gamma (1+\lambda )\sin (\pi \lambda /2)}{{\Gamma [(1+\lambda )/2]\lambda 2^{(\lambda -1)/2}]}^{1/\lambda }}$$

2.2 黄金正弦算法

黄金正弦算法 (golden sine algorithm, golden-SA）是 Tanyildizi等人 ${}^{[13]}$ 于 2017 年提出的新型元启发式算法, 该算法 的设计灵感来源于数学中的正弦函数, 该算法利用数学中的正 弦函数进行计算迭代寻优, 其优点是收敛速度快、查棒性好、易 于实现、调节的参数和运算符少。
golden-SA 根据正弦函数与单位圆 的关系, 可以遍历正弦 函数上的所有值即寻遍单位圆上所有的点, 同时在其位置更新 过程中引入黄金分割数缩小解决方案的空间, 以便扫描可能只 产生良好结果的区域, 很大程度上提高了搜索速度, 且使搜索 和开发达到良好的平衡。golden-SA 算法的核心是位置更新过 程, 随机产生 $s$ 个个体的位置, 并用 $X_i^T=(X_{i1},X_{i2},X_{i3},\cdots$, ${X_{id})}^T$, 表示 $d$ 维个体空间中第 $T$ 次迭代中第 $i(i=1,2,\cdots ,s)$ 个 个体的空间位置, $P_i^T={\left(P_{i1},P_{i2},P_{i3},\cdots ,P_{id}\right)}^T$ 表示第 $T$ 代个体 $i$ 的最优位置, 在 $T+1$ 次迭代中, 第 $i(i=1,2,\cdots ,np)$ 个个体的 位置更新公式如下:
$$X_i^{T+1}=X_i^T\left|\sin \left(R_1\right)\right|+R_2\sin \left(R_1\right)\left|x_1{P}_i^T-x_2{X}_i^T\right|\text{\hspace{1em}(13)}$$
其中: $R_1$ 和 $R_2$ 是随机数, $R_1$ 决定下一次迭代中个体的移动距 离, $R_1\in [0,2\pi ],R_2$ 决定下一次迭代的位置更新方向, $R_2\in$ $[0,\pi ];x_1$ 和 $x_2$ 是通过黄金分割得到的系数, 可以缩小搜索空 间引领个体趋近最优值, 黄金分割数 $\tau =(\sqrt{5}-1)/2,x_1=$ $-\pi +(1-\tau )\times 2\pi ,x_2=-\pi +\tau \times 2\pi$ 。

3.实验结果

4.参考文献

[1]于建芳,刘升,王俊杰,鲁晓艺.融合莱维飞行与黄金正弦的蚁狮优化算法[J].计算机应用研究,2020,37(08):2349-2353.

5.Matlab代码

6.Python代码