自动控制原理3.4---高阶系统的时域分析

参考书籍：《自动控制原理》(第七版).胡寿松主编.
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1.三阶系统单位阶跃响应

设在$s$左半平面具有一对共轭复数极点和一个实极点的三阶系统，闭环传递函数一般形式为：
$$\Phi (s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{{\omega }_n^2{s}_0}{(s+s_0)(s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2)}\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中：$-s_0$为三阶系统的闭环负实数极点；

三阶系统在$0<\zeta <1$时单位阶跃响应：
c ( t ) = 1 − 1 b ζ 2 ( b − 2 ) + 1 e − s 0 t − e − ζ ω n t b ζ 2 ( b − 2 ) + 1 [ b ζ 2 ( b − 2 ) cos ⁡ ω n 1 − ζ 2 t + b ζ [ ζ 2 ( b − 2 ) + 1 ] 1 − ζ 2 sin ⁡ ω n 1 − ζ 2 t ] ， t ≥ 0 (2) c(t)=1−1bζ2(b−2)+1e−s0t−e−ζωntbζ2(b−2)+1[bζ2(b−2)cosωn√1−ζ2t+bζ[ζ2(b−2)+1]√1−ζ2sinωn√1−ζ2t]，t≥0

\tag{2} c(t)​=1−bζ2(b−2)+11​e−s0​t−bζ2(b−2)+1e−ζωn​t​[bζ2(b−2)cosωn​1−ζ2 ​t+1−ζ2 ​bζ[ζ2(b−2)+1]​sinωn​1−ζ2 ​t]，t≥0​(2)

2.高阶系统单位阶跃响应

上图闭环传递函数：
$$\Phi (s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}\text{\hspace{1em}(3)}$$
一般形式：
$$\Phi (s)=\frac{M(s)}{D(s)}=\frac{b_0{s}^m+b_1{s}^{m-1}+\cdots +b_{m-1}s+b_m}{a_0{s}^n+a_1{s}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}s+a_n}，m\le n\text{\hspace{1em}(4)}$$
上式表示为乘积形式：
$$\Phi (s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{K{\prod }_{i=1}^m(s-z_i)}{{\prod }_{i=1}^m(s-s_i)}\text{\hspace{1em}(5)}$$
其中：$K=b_0/a_0；z_i称为M(s)=0之根，称为闭环零点；s_i为D(s)=0之根，称为闭环极点；$

3.高阶系统闭环主导极点及其动态性能分析

如果在所有的闭环极点中，距虚轴最近的极点周围没有闭环零点，而其他闭环极点又远离虚轴，那么距虚轴最近的闭环极点所对应的响应分量，随时间的推移衰减缓慢，在系统的时间响应过程中起主导作用，这样的闭环极点称为闭环主导极点。除闭环主导极点外，所有其他闭环极点由于其对应的响应分量随时间的推移迅速衰减，对系统的时间响应过程影响甚微，这些极点统称为非主导极点；高阶系统的增益常常调整到使系统具有一对闭环共轭主导极点；

实例分析：

Example1： 已知某系统的闭环传递函数为
$$\Phi (s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{1.05(0.4762s+1)}{(0.125s+1)(0.5s+1)(s^2+s+1)}$$
试结合主导极点的概念分析该四阶系统的动态性能。

解：

由题意可得：
$$\Phi (s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{8(s+2.1)}{(s+8)(s+2)(s^2+s+1)}$$
该高阶系统具有一对共轭复数主导极点$s_{1,2}=-0.5\pm j0.866$，非主导极点$s_3=-2，s_4=-8$实部的模比主导极点实部的模大三倍以上，闭环零点$z=-2.1$不在主导极点附近，将该四阶系统近似成二阶系统：
$$\Phi (s)\approx \frac{C(s)}{R(s)}=\frac{1.05}{s^2+s+1}$$
原系统与近似系统单位阶跃响应：

小结：

• 闭环零点影响。减小峰值时间，使系统响应速度加快，超调量$\sigma \%$增大；表明闭环零点会减小系统阻尼，且这种作用将随着闭环零点接近虚轴而加剧；
• 闭环非主导极点影响。增大峰值时间，使系统响应速度变缓，但可以使超调量$\sigma \%$减小；表明闭环非主导极点可以增大系统阻尼，且这种作用将随着闭环极点接近虚轴而加剧；
• 若闭环零、极点彼此接近，则它们对系统响应速度的影响会相互削弱。