[SLAM] 旋转的表示

1. 旋转向量

可以用一个3*3的向量表示一个旋转变换；
[ a 1 a 2 a 3 ] = [ e 1 T e 1 ′ e 1 T e 2 ′ e 1 T e 3 ′ e 2 T e 1 ′ e 2 T e 2 ′ e 2 T e 3 ′ e 3 T e 1 ′ e 3 T e 2 ′ e 3 T e 3 ′ ] [ a 1 ′ a 2 ′ a 3 ′ ] = R a ′

= =Ra' \\ ⎣ ⎡​a1​a2​a3​​⎦ ⎤​=⎣ ⎡​e1T​e1′​e2T​e1′​e3T​e1′​​e1T​e2′​e2T​e2′​e3T​e2′​​e1T​e3′​e2T​e3′​e3T​e3′​​⎦ ⎤​⎣ ⎡​a1′​a2′​a3′​​⎦ ⎤​=Ra′
缺点：
①SO(3)本身有用了9量来表示3个自由度；SE(3)用16个量表示6个自由度；这种表示是冗余的，不够紧凑；
②旋转矩阵和变换矩阵必须是行列式为1的正交矩阵，这个约束导致在估计和优化时难以求解；

2. 旋转向量\轴角

将旋转表示为绕着转轴n旋转角度$\theta$的运动，这样用一个三位向量就可以描述旋转；
缺点：存在奇异性，任何$2n\pi$的旋转在角轴上等于没有旋转；

3. 欧拉角

将一个旋转定义为绕着3个轴的3次旋转（分成3段旋转），按照绕轴旋转的顺序和绕固定轴还是旋转后的轴有多种定义；
常用的设定为“偏航-俯仰-滚转”（yaw-pitch-roll），你可以想象自己是一架飞机，描述自己的旋转时往往是说：
①我左右转了多少度（绕着z轴，即偏航yaw）；
②我上下抬升或下降了多少度（绕着y轴，即俯仰pitch）；
③我机体旋转了多少度（绕着x轴，即翻滚roll）

缺点：存在万向锁问题，在特定情况下，旋转后的轴和旋转前的轴重合，使得3次旋转退化成两次旋转，失去了一个自由度；由于这个问题的存在，欧拉角往往只用于方便的可视化，但是如自动驾驶的场景其实也有使用（因为车辆主要关注偏航角yaw）

4. 四元数

旋转矩阵具有冗余性，角轴和欧拉角具有奇异性（3维上的奇异性表示是不存在的）；而四元数用1个实部+3个虚部表示旋转，既是紧凑的也没有奇异性；
q = q 0 + q 1 i + q 2 j + q 3 k = [ s , v ] T { i 2 = j 2 = k 2 = − 1 i j = k , j i = − k j k = i , k j = − i k i = j , i k = − j q = q_0 + q_1i + q_2j + q_3k=[s, v]^T \\ \left\{

\right. q=q0​+q1​i+q2​j+q3​k=[s,v]T⎩ ⎨ ⎧​i2=j2=k2=−1ij=k,ji=−kjk=i,kj=−iki=j,ik=−j​s表示实部，v表示虚部，在四元数中$q$和$-q$表示一个相同的旋转
四元数表示旋转的例子：一个点$p=[x,y,z]\in {\mathbb{R}}^3$经过旋转之后编程点$p^{\prime }$，对应了四元数q，则有p在四元数下的表示以及旋转变化为：
$$\begin{gathered} p=[0,x,y,z{]}^T=[0,v{]}^T \\ {p}^{\prime }=qp{q}^{-1} \end{gathered}$$计算后的四元数$p^{\prime }$的虚部就是旋转后的坐标；
缺点：不够直观

各个旋转之间的变换可以看我的另一篇文章