摘要: 证明几种常见的凸函数.

参考链接: https://zhuanlan.zhihu.com/p/138334587
https://blog.csdn.net/qq_40651017/article/details/105660299

1. 预备知识

1.1 Jacobian 矩阵

假设函数 $F:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ 是一个将欧氏 $n$ 维空间映射到欧氏 $m$ 维空间的函数. 该函数由 $m$ 个实函数构成: $y_1(x_1,\dots ,x_n)$, $y_2(x_1,\dots ,x_n)$, $\dots$, $y_m(x_1,\dots ,x_n)$. 这些函数的偏导数组成一个 $m$ 行 $n$ 列的矩阵, 即 Jacobian 矩阵:
J F ( x 1 , … , x n ) = [ ∂ y 1 ∂ x 1 … ∂ y 1 ∂ x n ⋮ ⋱ ⋮ ∂ y m ∂ x 1 … ∂ y m ∂ x n ] (1) J_F (x_1,\dots,x_n) = \left[

\right] \tag{1} JF​(x1​,…,xn​)=⎣ ⎡​∂x1​∂y1​​⋮∂x1​∂ym​​​…⋱…​∂xn​∂y1​​⋮∂xn​∂ym​​​⎦ ⎤​(1)

也可以表示为 $\frac{\partial (y_1,\cdots ,y_m)}{\partial (x_1,\cdots ,x_n)}$.
如果 $\mathbf{p}$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的一个点，函数 $F$ 在 $\mathbf{p}$ 点可微，则 $F$ 在这一点的导数由 $J_F(\mathbf{p})$ 给出.
如果 $m=n$, 则 $J_F(x_1,\dots ,x_n)$ 是一个方阵，其行列式称为 Jacobian 行列式.

1.2 Hessian 矩阵

如果 $f$ 的所有二阶导数都存在, 则 $f$ 的Hessian 矩阵为:
H ( f ) ( x ) = [ ∂ 2 f ∂ x 1 2 ∂ 2 f ∂ x 1 ∂ x 2 ⋯ ∂ 2 f ∂ x 1 ∂ x n ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ x 1 ∂ 2 f ∂ x 2 2 ⋯ ∂ 2 f ∂ x 2 ∂ x n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∂ 2 f ∂ x n ∂ x 1 ∂ 2 f ∂ x n ∂ x 2 ⋯ ∂ 2 f ∂ x n 2 ] (2) H(f)(\boldsymbol{x}) = \left [

\right] \tag{2} H(f)(x)=⎣ ⎡​∂x12​∂2f​∂x2​∂x1​∂2f​⋮∂xn​∂x1​∂2f​​∂x1​∂x2​∂2f​∂x22​∂2f​⋮∂xn​∂x2​∂2f​​⋯⋯⋱⋯​∂x1​∂xn​∂2f​∂x2​∂xn​∂2f​⋮∂xn2​∂2f​​⎦ ⎤​(2)
可以用二阶导数的值判断梯度下降的速率。
注意: 这里的 $f$ 仅仅是一个多元变量的函数, 而不是 1.1 节中的 $F$ 那种多个函数.

1.3 正定矩阵

定义 2. 令 $\mathbf{A}$ 为 $n\times n$ 矩阵. 如果对于任意长度为 $n$ 的非零列向量 $\mathbf{x}$, 均有 ${\mathbf{x}}^{\mathsf{T}}\mathbf{Ax}>0$, 则 $\mathbf{A}$ 为 正定矩阵.
定理 1. $\mathbf{A}$ 正定 $\iff$ $\mathbf{A}$ 的所有特征值为正 $\iff$ $\mathbf{A}$ 的顺序主子式为正.

定义 3. 令 $\mathbf{A}$ 为 $n\times n$ 矩阵. 如果对于任意长度为 $n$ 的非零列向量 $\mathbf{x}$, 均有 ${\mathbf{x}}^{\mathsf{T}}\mathbf{Ax}\ge 0$, 则 $\mathbf{A}$ 为 半正定矩阵.

2. 一元凸函数

定义4. 对于一元函数 $f(x)$, 如果对于任意 $t\in [0,1]$ 均满足:
$$f(t{x}_1+(1-t)x_2)\le tf(x_1)+(1-t)f(x_2),\text{\hspace{1em}(1)}$$
则称 $f(x)$ 为凸函数 (convex function).

图片来源: https://blog.csdn.net/qq_40651017/article/details/105660299

定理 1. 如果 $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ 恒成立, 则 $f(x)$ 是凸函数.

例 1. $f(x)=x^2$, $f^{\prime }(x)=2x$, $f^{\prime \prime }(x)=2>0$, 因此 $f(x)$ 为凸函数.

结论 1. 多个凸函数的和也是凸函数.
证明: 由函数求导的可加性可知.

3. 多元凸函数

定义5. 如果 $f$ 的 Hessian 矩阵是半正定的，则 $f(X)$ 是凸函数.

4. 几种常用函数

4.1 权值向量的 $l_1$ 范数

令 ${\mathbf{w}}_1=(w_{11},w_{12})$, ${\mathbf{w}}_2=(w_{21},w_{22})$.
$f(t{\mathbf{w}}_1+(1-t){\mathbf{w}}_2)=f(t{w}_{11}+(1-t)w_{21},t{w}_{12}+(1-t)w_{22})=|t{w}_{11}+(1-t)w_{21}|+|t{w}_{12}+(1-t)w_{22}|$

$tf({\mathbf{w}}_1)+(1-t)f({\mathbf{w}}_2)=t|w_{11}|+t|w_{21}|+(1-t)|w_{21}|+(1-t)|w_{22}|$.
前式的某些值如何符号相反会抵消, 如 $w_{11}$ 与 $w_{21}$, 但后者不会. 因此 前式 $\le$ 后式.
得证.

几何解释参见 https://zhuanlan.zhihu.com/p/60236837, 虽然和我理解的有些不同.

4.2 权值向量的 $l_2$ 范数

命题 1. 令 $\mathbf{w}$ 为一个权值向量,
$$f(\mathbf{w})=\Vert \mathbf{w}{\Vert }_2^2\text{\hspace{1em}(2)}$$
是一个凸函数.
证明:
$f(\mathbf{w})={\sum }_{i=1}^m{w}_i^2$,
$H(f)(\mathbf{w})=2{\mathbf{E}}_{m\times m}$ 为单位矩阵的 2 倍, 也为一个正定矩阵, 因此 (2) 为一个凸函数.

4.3 权值矩阵的 F 范数

命题 2. 令 $\mathbf{W}$ 为一个权值矩阵,
$$f(\mathbf{w})=\Vert \mathbf{w}{\Vert }_F^2\text{\hspace{1em}(2)}$$
是一个凸函数.
证明:
与命题 1 的证明同理.

4.4 矩阵的核范数

矩阵 $\mathbf{X}$ 的核范数 $\Vert \mathbf{X}{\Vert }_{\ast }=tr\left(\sqrt{{\mathbf{X}}^{\mathsf{T}}\mathbf{X}}\right)$ 是一个凸函数.
证明: 参见 https://hyper.ai/wiki/2687.
考虑 $\mathbf{X}$ 的奇异值分解 $\mathbf{X}=\mathbf{U}\Sigma {\mathbf{V}}^{\mathsf{T}}$, 其中 $\mathbf{X}\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$, 则 $\mathbf{U}\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$, $\Sigma \in {\mathbb{R}}^{n\times m}$, $\mathbf{V}\in {\mathbb{R}}^{m\times m}$, 且 $\Sigma$ 仅有 ${\sigma }_{i,i}$ 可能不为 $0$ ( 1 ≤ i ≤ min ⁡ { n , m } 1 \le i \le \min\{n, m\} 1≤i≤min{n,m}). 当 $m\le n$ 时,
t r ( X T X ) = t r ( V Σ T U T U Σ V T ) = t r ( V Σ T Σ V T ) U T U = E = t r ( V T V Σ T Σ ) t r ( A B ) = t r ( B A ) , t r ( A ) = t r ( A ) = t r ( Σ T Σ ) = t r ( Σ )

tr(XTX ​)​=tr(VΣTUTUΣVT ​)=tr(VΣTΣVT ​)=tr(VTVΣTΣ ​)=tr(ΣTΣ ​)=tr(Σ)​UTU=Etr(AB)=tr(BA),tr(A) ​=tr(A) ​​
特别地, 当 $m=n$ 时 $\mathbf{U}=\mathbf{V}$, 这时称为特征值分解.
但是, 我们还无法保证 $tr(\Sigma )\ge 0$.

后面的证明我没看懂, 亟需帮助！