【一起学数据结构与算法】时间复杂度_空间复杂度

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一、算法效率

🍁算法效率分析分为两种：第一种是时间效率，第二种是空间效率。
🍁时间效率被称为时间复杂度，而空间效率被 称作空间复杂度。 时间复杂度主要衡量的是一个算法的运行速度，而空间复杂度主要衡量一个算法所需要的额 外空间，在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的 迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复 杂度。

二、时间复杂度

2.1 时间复杂度概念

🍁一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复 杂度。也就是说当我们拿到一个代码，来看这个代码的时间复杂度的时候，主要是去找这个代码当中执行语句次数最多的代码执行了多少次。

2.2 大O的渐进表示法

请计算一下func1基本操作执行了多少次？

public static void func1(int n){
        int count = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                count++;
            }
        }
        for (int k = 0; k < 2 * n; k++) {
            count++;
        }
        int m = 10;
        while ((m--) > 0){
            count++;
        }
    }
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随着N的值越来越大，2N和10就可以忽略不计。

实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里 我们使用大O的渐进表示法。

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

2.3计算时间复杂度

实例一：

public static void func2(int n){
        int count = 0;
        for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
            count++;
        }
        int m = 10;
        while((m--) > 0){
            count++;
        }
    }
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基本操作执行了2N+10次，通过推导大O阶方法知道，时间复杂度为 O(N)

实例二：

public static void func3(int n ,int m){
        int count = 0;
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            count++;
        }
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            count++;
        }
    }
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基本操作执行了M+N次，有两个未知数M和N，时间复杂度为 O(N+M)

实例三：

public static void func4(int n){
        int count = 0;
        for (int i = 0; i < 100; i++) {
            count++;
        }
    }
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基本操作执行了100次，通过推导大O阶方法，时间复杂度为 O(1)

实例四：计算冒泡排序的时间复杂度

public static void Swap(int[] array,int n,int m){
        int tmp = array[n];
        array[n] = array[m];
        array[m] =tmp;
    }
    public static void bubbleSort(int[] array){
        for (int end = array.length; end > 0; end++) {
            boolean sorted = true;
            for (int i = 1; i < end; i++) {
                if (array[i - 1] > array[i]){
                    Swap(array,i-1,i);
                    sorted = false;
                }
            }
            if (sorted == true){
                break;
            }
        }
    }
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基本操作执行最好N次，最坏执行了(N*(N-1))/2次，通过推导大O阶方法+时间复杂度一般看最坏， 时间复杂度为 O(N^2）

实例五：二分查找的时间复杂度

public static int binarySearch(int[] array,int value){
        int begin = 0;
        int end = array.length - 1;
        while(begin <= end){
            int mid = begin + ((end - begin) / 2);
            if (array[mid] < value){
                begin = mid - 1;
            }else if (array[mid] > value){
                end = mid - 1;
            }else {
                return mid;
            }
        }
        return -1;
    }
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基本操作执行最好1次，最坏O(logN)次，时间复杂度为 O(logN) ps：logN在算法分析中表示是底数 为2，对数为N。有些地方会写成lgN。（建议通过折纸查找的方式讲解logN是怎么计算出来的）(因为二 分查找每次排除掉一半的不适合值,一次二分剩下：n/2 两次二分剩下：n/2/2 = n/4)

实例六：计算阶乘递归的时间复杂度

递归的时间复杂度 = 递归的次数*每次递归执行的次数

public static long factorial(int n){
        return n < 2 ? n : factorial(n-1) * n;
    }
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通过计算分析发现基本操作递归了N次，时间复杂度为O(N)

实例七：计算斐波那契递归的时间复杂度

public static int fibonacci(int n ){
        return n < 2 ? n : fibonacci(n-1) + fibonacci(n - 2);
    }
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通过计算分析发现基本操作递归了2^N次，时间复杂度为O(2 ^N)。

三、空间复杂度

3.1 空间复杂度的概念

🍁空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。空间复杂度不是程序占用了多少bytes 的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度 类似，也使用大O渐进表示法。

计算空间复杂度

实例一：计算冒泡排序的空间复杂度

public static void Swap(int[] array,int n,int m){
        int tmp = array[n];
        array[n] = array[m];
        array[m] =tmp;
    }
    public static void bubbleSort(int[] array){
        for (int end = array.length; end > 0; end++) {
            boolean sorted = true;
            for (int i = 1; i < end; i++) {
                if (array[i - 1] > array[i]){
                    Swap(array,i-1,i);
                    sorted = false;
                }
            }
            if (sorted == true){
                break;
            }
        }
    }
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使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)

实例二：计算斐波那契的空间复杂度

public static int[] fibonacci(int n){
        long[] fibArray = new long[n + 1];
        fibArray[0] = 0;
        fibArray[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];
        }
        return fibArray;
    }
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动态开辟了N个空间，空间复杂度为 O(N)

实例三：计算阶乘递归的空间复杂度

public static long factorial(int n){
        return n < 2 ? n : factorial(n-1) * n;
    }
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递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)

四、实战练习

牛客网–AB24 二分查找-I