P1020 [NOIP1999 普及组] 导弹拦截

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题目描述

某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。

输入导弹依次飞来的高度，计算这套系统最多能拦截多少导弹，如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。

输入格式

一行，若干个整数，中间由空格隔开。

输出格式

两行，每行一个整数，第一个数字表示这套系统最多能拦截多少导弹，第二个数字表示如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。

输入输出样例

输入 #1

389 207 155 300 299 170 158 65

输出 #1

6
2

思路分析

本题可以分为两问。

第一问

这套系统最多能拦截多少导弹。

其实就是求最长不上升子序列的长度。

建立一个ans数组保存从第 n个导弹开始拦截最多可以拦截的导弹数。 ansn=1从最后一个导弹开始拦截则拦截数为 1。之后的每个导弹可拦截数等于后面比他高度低的导弹可拦截数最大的拦截数+1。

即有两个条件：

1. 高度比他低。

2. 拦截数最大，然后 +1。列好表后输出ans中最大的数即可。

状态转移方程为：

dpj=max⁡(dpj,dpk+1);

dpj​=max(dpj​,dpk​+1);

第二问

最少要配备多少套这种导弹拦截系统。

需要用到 Dilworth 定理。

一个序列最少的最长不上升子序列数量等于其最长上升子序列的长度。简单解释，假设我们已经将序列划分成了最少的几个最长不上升子序列，那么一定可以从每个中找到一个元素，新生成的序列一定单调上升（否则就最长不上升子序列的数量会减少），而且每个最长不上升子序列中只会被选出一个元素，否则单调性就会产生冲突，因此 Dilworth 定理是对的。

也就是说把一个数列划分成最少的最长不升子序列的数目就等于这个数列的最长上升子序列的长度。

因此第二问的状态转移方程是：

dp2j=max⁡(dp2j,dp2k+1)(highk≤highj);

dp2j​=max(dp2j​,dp2k​+1)(highk​≤highj​);

但是只能获得 100pts，所以我们考虑怎么优化。

我们可以用二分法进行优化。

每次不满足放在列尾时，都需要从头到尾依次寻找，不如加一个二分查找又能省去近半的时间。二分的判断条件需要格外注意，第一问的最长不升子序列( 可以下降或是保持不变 )，所以判断条件应该是 dpf≥ai，满足则左边界 left=f+1，不满足就是右边界 right=fright=f。第二问同理，把握是否应该替换相同项即可。

参考代码

AC代码

#include 
using namespace std;
const int maxn=100005;
int a[maxn];
int dp[maxn];
int main()
{
	int len=1;
	while(scanf("%d",&a[len++])!=EOF);
	len-=2;
	int count=1;
	dp[1]=a[1];
	for(int i=2; i<=len; i++)
	{
		if(dp[count]>=a[i])
		{
			dp[++count]=a[i];
		}
		else
		{
			for(int j=1; ; j++)
			{
				if(dp[j]
				{
					dp[j]=a[i];
					break;
				}
			}
		}
	}
	cout<
	count=1,dp[1]=a[1];
	for(int i=2; i<=len; i++)
	{
		if(dp[count]
		{
			dp[++count]=a[i];
		}
		else
		{
			for(int j=1; ; j++)
			{
				if(dp[j]>=a[i])
				{
					dp[j]=a[i];
					break;
				}
			}
		}
	}
	cout<
	return 0;
}

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