NR 物理层 卷积

参考： 

   

数学概率之z=x+y和z=x-y和z=x/y的分布_专注于计算机视觉的AndyJiang的博客-CSDN博客_z=x-y的概率密度公式

 前言：

     卷积在 NR  Modulaiton，OFDM, Beam, MIMO等技术里面都会涉及到。

这边参考lain 课程,做个大概30分钟左右的分享。

目录：

1.      卷积等式 
2.      狄拉克函数卷积性质
3.      例1：  LTI 系统 卷积
4.      例2： Y=X+N 卷积
5.      Z=X+Y 的概率密度函数

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 一   卷积等式

        

          意义：

          考虑一个脉冲相应系统

          

  假设脉冲信号时刻分别为t=0,1,2

则输出信号为输入信号在3个时刻的相应，因为是一个线性系统可以认为是输出信号的线性和

比如t=2 时刻,输出为

  

 考虑在任意一个时刻t,该脉冲系统的输出为

 

 增加脉冲系统的采样

 则该脉冲系统在任意一个时刻的输出为

 

  当 

 

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二 狄拉克函数卷积性质

    这个是经常用到的一个性质

     

      证明

               这里面利用了狄拉克函数的抽样性质

              

 

 备注：

 

三  LTI 系统 卷积

     卷积本质上是两个函数或者两个信号产生一个新的函数或者信号

    3.1 LTI 系统（Linear time invariant）

      考虑下面的一个系统

   当input的脉冲间隔变成1/2，输出如下

 考虑更常用的连续信号，可以认为是一系列离散的抽样信号组成，其输出如下

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四   例2： Y=X+N 卷积

    假设输入X 和噪声条件独立，则输出Y 就是X和N的卷积

    证明如四，这个系统是数字通讯系统中特别常用的。

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五  Z=X+Y 的概率密度函数

     设Z=X+Y的概率密度函数为f(x,y),则Z的分布函数为

   

  如果X和Y相互独立时，Z=X+Y的密度函数公式则为卷积公式，所以第三部分,就是一个狄拉克函数和一个正太分布的卷积,根据狄拉克函数卷积性质