数据结构与算法之美-读书笔记2（时间复杂度详细分析）

几种常见的多项式时间复杂度

1. O（1）

O(1)是常量级时间复杂度的一种表示方法，并不是指只执行了一行代码。 比如这段代码，即便有3行，它的时间复杂度也是O(1），而不是O(3)。

 int i = 8;
 int j = 6;
 int sum = i + j;

只要代码的执行时间不随n的增大而增长，这样代码的时间复杂度我们都记作O(1)。一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1）

2. O（logn）、O（nlogn）

 i=1;
 while (i <= n)  {
   i = i * 2;
 }
代码中可以看出，变量i的值从1开始取，每循环一次就乘以2。 当大于n时，循环结束。如果一个一个列出来，就应该是这个样子的：

只要知道x值是多少，就知道这行代码执行的次数了。 x=log2n，所以，这段代码的时间复杂度就是O(log2n)。

 i=1;
 while (i <= n)  {
   i = i * 3;
 }

这段代码的时间复杂度为O(log3n)。

不管是以2为底、以3为底，还是以10为底，所有对数阶的时间复杂度都记为O(logn)。因为对数之间是可以互相转换的，在采用大O标记复杂度的时候，可以忽略系数，即O(Cf(n)) = O(f(n))。 在对数阶时间复杂度的表示方法里，我们忽略对数的“底”，统一表示为O(logn)。

如果一段代码的时间复杂度是O(logn)，循环执行n遍，时间复杂度就是O(nlogn)了。归并排序、快速排序的时间复杂度都是O(nlogn)。

3. O（m+n）、O（m*n）

由两个数据的规模来决定的复杂度

例：

int cal(int m, int n) {
  int sum_1 = 0;
  int i = 1;
  for (; i < m; ++i) {
    sum_1 = sum_1 + i;
  }
 
  int sum_2 = 0;
  int j = 1;
  for (; j < n; ++j) {
    sum_2 = sum_2 + j;
  }
 
  return sum_1 + sum_2;
}

m和n是表示两个数据规模，无法事先评估m和n谁的量级大，所以在表示复杂度时不能简单地利用加法法则，省略其一。上面代码的时间复杂度是O(m+n)。

空间复杂度分析

时间复杂度的全称是渐进时间复杂度，表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。

类比一下，空间复杂度全称就是渐进空间复杂度（asymptotic space complexity），表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。