数学建模2019B “同心协力”策略研究

第一问

1.球的运动

  两个假设条件：一、忽略阻力。二、视鼓面为平面。

  设$z_b(t)$为球在$t$时刻的位置、$v_{b1}$为球的初始速度、$m_b$、$m_d$分别为球与鼓的质量。

  根据牛顿第二定理和球的初始条件，可联立方程组：

$$\{\begin{array}{r}{m}_b\frac{d^2{z}_b}{d{t}^2}=-m_{b}g\\ z_b(0)=0\\ z_b^{\prime }(0)=v_{b1}\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

  解得：

$$\{\begin{array}{r}{z}_b(t)=v_{b1}-\frac{1}{2}g{t}^2\\ z_b^{\prime }(t)=v_{b1}-gt\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$

  到达最高点所需的时间为：$t_b=\frac{v_{b1}}{g}$

  到达的最大高度为：$h_b=\frac{v_{b1}^2}{2g}$

  从给定高度$h_b$处下落到鼓上并反弹后的速度为：$v_{b1}=\sqrt{2g{h}_b}$

  到达鼓面时的速度为：$v_{b0}=-v_{b1}=-\sqrt{2g{h}_b}$

2.鼓与球的碰撞

  设$m_b$、$v_{b0}$、$v_{b1}$、$m_d$、$v_{d0}$、$v_{d1}$分别为球的质量、球与鼓碰撞前的球的速度、球与鼓碰撞后球的速度、鼓的质量、球与鼓碰撞前的鼓的速度、球与鼓碰撞后鼓的速度。

  根据动量守恒与动能守恒定理可列出以下方程：

$$\{\begin{array}{r}{m}_b{v}_{b0}+m_d{v}_{d0}=m_b{v}_{b1}+m_d{v}_{d1}\\ \frac{1}{2}{m}_b{v}_{b0}^2+\frac{1}{2}{m}_d{v}_{d0}^2=\frac{1}{2}{m}_b{v}_{b1}^2+\frac{1}{2}{m}_d{v}_{d1}^2\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$

解得：
$$\{\begin{array}{r}{v}_{b1}=\frac{(m_b-m_d)v_{b0}+2m_d{v}_{d0}}{m_b+m_d}\\ v_{d1}=\frac{(m_d-m_b)v_{d0}+2m_b{v}_{b0}}{m_b+m_d}\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$

  已知当球从$h_b$处落下时，球碰撞前速度为：$v_{b0}=\sqrt{2g{h}_b}$

  要让球碰撞后反弹至原来的高度，鼓碰撞前的速度应为：$v_{d0}=\frac{m_b}{m_d}\cdot \sqrt{2gh}$

3.鼓的运动

  记共有$n$个队员，第$j$个队员顺着绳子的拉力为$F_j$，其垂直分量为$F_{vj}$、水平分量为$F_{hj}$。

  我们假设每个队员拉力大小方向都一样。

  则：

$$\sum _{i=1}^n{F}_{hj}=0$$

  记$F_v=F_{vj}$

  则所有队员的拉力和为$nFv$

  记$z_d(t)$为$t$时刻鼓的位置、$-h_d$为鼓初始位置。

  由上图可知：$F_v=F\sin \theta =-F\frac{z}{l}$

  再根据牛顿第二定理和鼓运动的初始条件即可联立以下方程组：

$$\{\begin{array}{r}{m}_d\frac{d^2{z}_d}{d{t}^2}=n{F}_v-m_{d}g\\ z_d(0)=-h_d\\ z_d^{\prime }(0)=0\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$

  解得：
$$\{\begin{array}{r}{z}_d(t)=(\frac{lg{m}_d}{nF}-h_d)\cos (\sqrt{\frac{nF}{m_{d}l}}t)-\frac{lg{m}_d}{nF}\\ z_d^{\prime }(t)=\sqrt{\frac{nF}{m_{d}l}}(h_d-\frac{lg{m}_d}{nF})sin(\sqrt{\frac{nF}{m_{d}l}}t)\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$

  当$t_d=\frac{\pi }{2}\sqrt{\frac{m_{d}l}{nF}}$时，有：$v_{max}=\sqrt{\frac{nF}{m_{d}l}}(h_d-\frac{lg{m}_d}{nF})$

  鼓的最大速度应等于球与鼓碰撞前的速度、以$h_d$为未知数，求解方程：

$$\sqrt{\frac{nF}{m_{d}l}}(h_d-\frac{lg{m}_d}{nF})=v_{d0}\text{\hspace{1em}(7)}$$

  解得：

$$h_d=\sqrt{\frac{m_{d}l}{nF}}{v}_{d0}+\frac{lg{m}_d}{nF}\text{\hspace{1em}(8)}$$

  联立方程：

$$h_d=\sqrt{\frac{m_{d}l}{nF}}{v}_{d0}+\frac{lg{m}_d}{nF}=\frac{2t_d}{\pi }{v}_{d0}+\frac{4g{t}_d^2}{{\pi }^2}\text{\hspace{1em}(9)}$$

  视所有队员看到球反弹至最高点时同时发力，可知：$t_d=t_b$

  方程结果为：

$$F=\frac{{\pi }^{2}lg{m}_d}{8n{h}_b}$$

  由题目代入相关数据$h_b=0.4$、$n=8$、$m_d=3.6$、$l=2$。即可求出最终结果。

  而用力时机为球反弹至最高点时、用力方向为顺着绳子用力、颠球高度为40cm