高数常用公式定理总结

高等数学常用知识点总结

• 泰勒中值定理：

设$f(x)$在点$x=a$的某个邻域内有直到$n+1$阶导数，则对该邻域内的任一点$x$，有：

带拉格朗日余项的泰勒公式：
$$f(x)=f(a)+f^{{}^{\prime }}(a)(x-a)+\cdots +\frac{f^n(a)}{n!}(x-a{)}^n+\frac{f^{n+1}(\xi )}{(n+1)!}(x-a{)}^{n+1},\xi 介于x与a之间.$$
令$a=0$，则得到带拉格朗日余项的麦克劳林公式：
$$f(x)=f(0)+f^{{}^{\prime }}(0)x+\cdots +\frac{f^n(0)}{n!}{x}^n+\frac{f^{n+1}(\xi )}{(n+1)!}{x}^{n+1},\xi 介于x与0之间.$$
注：

泰勒中值定理建立函数和各阶导数的关系

当提到$f(x)$在$a$点有3阶导数，那么应该想到：
$$f(x)=f(a)+f^{{}^{\prime }}(a)(x-a)+\frac{f^{{}^{\prime \prime }}(a)(x-a{)}^2}{2!}+\frac{f^{{}^{\prime \prime \prime }}(\xi )}{3!}(x-a{)}^3,\xi 介于x与a之间.$$
当提到$f(x)$在$a$点有2阶导数，那么应该想到：
$$f(x)=f(a)+f^{{}^{\prime }}(a)(x-a)+\frac{f^{{}^{\prime \prime }}(\xi )(x-a{)}^2}{2!},\xi 介于x与a之间.$$
当提到$f(x)$在$a$点有2阶导数，那么应该想到（相当于拉格朗日中值定理）：
$$f(x)=f(a)+f^{{}^{\prime }}(\xi )(x-a),\xi 介于x与a之间.$$
使用泰勒中值定理的步骤：

• 根据n+1阶可导写出泰勒中值定理表达式；
• 选择$x$和$a$，很多情况下$x$选择区间的端点或者中点，而$a$则看情况。
• 若是证明不等式，需要放缩不等式；若是出现连续可导，需要想到介值定理。