【高等数学基础进阶】不定积分-part2

常考题型与典型例题

如果题中用到上面提到的通用方法会说明，但不会给详细步骤

例10：$\int \frac{dx}{(2-x)\sqrt{1-x}}$

利用简单无理函数积分$\int R(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}})dx$
或

常用$\frac{dx}{\sqrt{x}}=2d\sqrt{x}$，对于$R(x)$也是同理

原式 = ∫ − 2 d 1 − x 1 + ( 1 − x ) 2 = − 2 arctan ⁡ 1 − x + C 原式=∫−2d√1−x1+(√1−x)2=−2arctan√1−x+C

原式=∫1+(1−x ​)2−2d1−x ​​=−2arctan1−x ​+C​

例11：设 f ( x ) = { e x x ≥ 0 cos ⁡ x x < 0 f(x)={exx≥0cosxx<0

f(x)={excosx​x≥0x<0​，则$\int f(x)dx=()$

数学上可以证明，如果分段被积函数连续，则分段积分获得分段原函数后调整常数，使分段原函数连续，则该分段原函数一定可导

∫ f ( x ) d x = { e x + C 1 x ≥ 0 sin ⁡ x + C 2 x < 0 \int f(x)dx={ex+C1x≥0sinx+C2x<0

∫f(x)dx={ex+C1​sinx+C2​​x≥0x<0​
根据原函数连续性
$$1+C_1=C_2\Rightarrow C_1=C,C_2=1+C$$
则
$$\int f(x)dx=\{\begin{array}{ll}{e}^x+C& x\ge 0\\ \sin x+1+C& x<0\end{array}$$

例12：计算$\int \frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx(a>0)$

三角有理式积分$\int R(\sin x,\cos x)dx$中三角代换$x=a\sin t$
或
原式 = − ∫ x d a 2 − x 2 = − x a 2 − x 2 + ∫ a 2 − x 2 d x = − x a 2 − x 2 + ∫ a 2 − x 2 a 2 − x 2 d x = − x a 2 − x 2 + a 2 arcsin ⁡ x a − ∫ x 2 a 2 − x 2 d x 原式 = − x a 2 − x 2 + a 2 arcsin ⁡ x a 2 原式=−∫xd√a2−x2=−x√a2−x2+∫√a2−x2dx=−x√a2−x2+∫a2−x2√a2−x2dx=−x√a2−x2+a2arcsinxa−∫x2√a2−x2dx原式=−x√a2−x2+a2arcsinxa2

原式原式​=−∫xda2−x2 ​=−xa2−x2 ​+∫a2−x2 ​dx=−xa2−x2 ​+∫a2−x2 ​a2−x2​dx=−xa2−x2 ​+a2arcsinax​−∫a2−x2 ​x2​dx=2−xa2−x2 ​+a2arcsinax​​​

例13：$\int \frac{\arcsin e^x}{e^x}dx=()$

如果$e^x$看做$t$，原式即为两类函数积分，用分部积分即可

能用分部积分的只要$\int f(x)dg(x)$中$f(x)$和$g(x)$各自是一类函数即可。例如本题$\int \frac{\arcsin e^x}{e^x}dx$直接看不一定能分部积分，但如果凑成$-\int \arcsin e^{x}d(e^{-x})$显然符合上述要求，能够进行分部积分

原式 = − ∫ arcsin ⁡ e x d ( e − x ) = − arcsin ⁡ e x e x + ∫ d x 1 − e 2 x 原式=−∫arcsinexd(e−x)=−arcsinexex+∫dx√1−e2x

原式​=−∫arcsinexd(e−x)=−exarcsinex​+∫1−e2x ​dx​​
在$\int \frac{dx}{\sqrt{1-e^{2x}}}$中，令$\sqrt{1-e^{2x}}=t$，即$dx=\frac{-tdt}{1-t^2}$
$$\begin{array}{rl}\int \frac{dx}{\sqrt{1-e^{2x}}}& =-\int \frac{dt}{1-t^2}\\ & =-\frac{1}{2}\ln \frac{1+t}{1-t}+C\\ & =-\frac{1}{2}\ln \frac{1+\sqrt{1-e^{2x}}}{1-\sqrt{1-e^{2x}}}+C\\ \int \frac{\arcsin e^x}{e^x}dx& =-\frac{\arcsin e^x}{e^x}-\frac{1}{2}\ln \frac{1+\sqrt{1-e^{2x}}}{1-\sqrt{1-e^{2x}}}+C\end{array}$$
或者考虑换元
令$\arcsin e^x=t$，则$x=\ln \sin t,dx=\frac{\cos t}{\sin t}dt$
$$\begin{array}{rl}原式& =\int \frac{t}{\sin t}\cdot \frac{\cos t}{\sin t}dt\\ & =-\int td\frac{1}{\sin t}\\ & =-\frac{t}{\sin t}+\int \frac{1}{(\sin t)}dt\\ & =-\frac{t}{\sin t}-\ln |\csc t+\cot t|+C\end{array}$$

由于$\arcsin x,\arctan x,\ln x$单独求导后不在含有反三角函数和对数，即分部积分后会变成有理函数的形式。因此有关上述的积分，即使不符合三类常见可积函数积分标准形式，也可以先尝试分部积分

例14：计算$\int \ln (1+\sqrt{\frac{1+x}{x}})dx(x>0)$

设$\sqrt{\frac{1+x}{x}}=t$，则$x=\frac{1}{t^2-1}$
原式 = ∫ ln ⁡ ( 1 + t ) d 1 t 2 − 1 = ln ⁡ ( 1 + t ) t 2 − 1 − ∫ ln ⁡ 1 t 2 − 1 ⋅ 1 t + 1 d t ln ⁡ 1 t 2 − 1 ⋅ 1 t + 1 d t = 1 2 ∫ ( t + 1 ) − ( t − 1 ) ( t 2 − 1 ) ( t + 1 ) d t = 1 4 ln ⁡ ∣ t − 1 t + 1 ∣ + 1 2 ( t + 1 ) + C 原式 = ln ⁡ ( 1 + t ) t 2 − 1 + 1 4 ln ⁡ ∣ t − 1 t + 1 ∣ + 1 2 ( t + 1 ) + C 原式=∫ln(1+t)d1t2−1=ln(1+t)t2−1−∫ln1t2−1⋅1t+1dtln1t2−1⋅1t+1dt=12∫(t+1)−(t−1)(t2−1)(t+1)dt=14ln|t−1t+1|+12(t+1)+C原式=ln(1+t)t2−1+14ln|t−1t+1|+12(t+1)+C

原式lnt2−11​⋅t+11​dt原式​=∫ln(1+t)dt2−11​=t2−1ln(1+t)​−∫lnt2−11​⋅t+11​dt=21​∫(t2−1)(t+1)(t+1)−(t−1)​dt=41​ln∣t+1t−1​∣+2(t+1)1​+C=t2−1ln(1+t)​+41​ln∣t+1t−1​∣+2(t+1)1​+C​

例15：已知$\frac{\sin x}{x}$是$f(x)$的一个原函数，求$\int x^3{f}^{\prime }(x)dx=()$

$$f(x)=(\frac{\sin x}{x}{)}^{\prime }=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}$$
有
∫ x 3 f ′ ( x ) d x = ∫ x 3 d f ( x ) = x 3 f ( x ) − 3 ∫ x 2 f ( x ) d x = x 3 f ( x ) − 3 ∫ x 2 d ( sin ⁡ x x ) = x 3 f ( x ) − 3 [ x 2 sin ⁡ x x − 2 ∫ sin ⁡ x d x ] = x 3 x cos ⁡ x − sin ⁡ x x 2 − 3 x sin ⁡ x − 6 cos ⁡ x + C ∫x3f′(x)dx=∫x3df(x)=x3f(x)−3∫x2f(x)dx=x3f(x)−3∫x2d(sinxx)=x3f(x)−3[x2sinxx−2∫sinxdx]=x3xcosx−sinxx2−3xsinx−6cosx+C

∫x3f′(x)dx​=∫x3df(x)=x3f(x)−3∫x2f(x)dx=x3f(x)−3∫x2d(xsinx​)=x3f(x)−3[x2xsinx​−2∫sinxdx]=x3x2xcosx−sinx​−3xsinx−6cosx+C​

​

活动地址：CSDN21天学习挑战赛