Leetcode 77 组合

1.题目描述

给定两个整数 n 和 k，返回范围 [1, n] 中所有可能的 k 个数的组合。

你可以按 任何顺序 返回答案。
输入：n = 4, k = 2
输出：
[
[2,4],
[3,4],
[2,3],
[1,2],
[1,3],
[1,4],
]
1 <= n <= 20
1 <= k <= n

2.思路分析

• 回溯法解决的经典问题之一
• 回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构（N叉树），用树形结构来理解回溯就容易多了。
  

可以看出这个棵树，一开始集合是 1，2，3，4， 从左向右取数，取过的数，不在重复取。

​ 第一次取1，集合变为2，3，4 ，因为k为2，我们只需要再取一个数就可以了，分别取2，3，4，得到集合[1,2] [1,3] [1,4]，以此类推。

每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围。

图中可以发现n相当于树的宽度，k相当于树的深度。 每次搜索到了叶子节点即为结果

步骤:

• 递归函数的返回值以及参数

  定义两个全局变量( 一个存放符合条件单一结果，一个存放符合条件结果的集合)

  res=[]  #存放符合条件结果的集合
  path=[]  #用来存放符合条件结果
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  int型变量 startIndex( 记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历(集合就是[1,…,n] ) )

  每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围，就是要靠startIndex。

从图中的红线可以看出, 在集合[1,2,3,4]取1之后，下一层递归，就要在[2,3,4]中取数了，那么下一层递归如何知道从[2,3,4]中取数呢，靠的是startIndex。

startIndex: 记录下一层递归，搜索的起始位置。

def backtrack(n:int, k:int, StartIndex:int):
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• 回溯函数终止条件

  什么时候到达所谓的叶子节点了呢？

  path数组的大小如果达到k，说明找到了一个子集大小为k的组合了，在图中path存的就是根节点到叶子节点的路径。
  

  用result二维数组，把path保存起来，并终止本层递归。

  if len(path) == k:
      res.append(path[:])
      return
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• 单层搜索的过程

  回溯法的搜索过程就是一个树型结构的遍历过程，在如下图中，可以看出for循环用来横向遍历，递归的过程是纵向遍历。

for循环每次从startIndex开始遍历，然后用path保存取到的节点i。

for i in range(StartIndex, n + 1):# 控制树的横向遍历
	path.append(i) # 处理节点
	backtrack(n, k, i+1) # 递归:控制纵向遍历,注意下一层的搜索从i+1开始
	path.pop() # 回溯,撤销处理节点
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回溯模板

def backtracking(参数) {
    if (终止条件) {
        存放结果
        return
    }

    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
        处理节点;
        backtracking(路径，选择列表) // 递归
        回溯，撤销处理结果
    }
}
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3.代码实现

class Solution:
    def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]:
        res = [] # 存储符合条件结果的集合	
        path = [] # 用来存放符合条件的结果
        def backtrack(n, k, StartIndex):
            if len(path) == k:
                res.append(path[:])
                return
            for i in range(StartIndex, n + 1):
                path.append(i) # 处理节点
                backtrack(n, k, i+1) # 递归,注意下层搜索从i+1开始
                path.pop() # 回溯,撤销处理节点
        backtrack(n, k, 1)
        return res
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4.剪枝优化

举个栗子，n = 4，k = 4的话，那么第一层for循环的时候，从元素2开始的遍历都没有意义了。 在第二层for循环，从元素3开始的遍历都没有意义了。

图中每一个节点（图中为矩形），就代表本层的一个for循环，那么每一层的for循环从第二个数开始遍历的话，都没有意义，都是无效遍历。

可以剪枝的地方就在递归中每一层的for循环所选择的起始位置。

如果for循环选择的起始位置之后的元素个数 已经不足 我们需要的元素个数了，那么就没有必要搜索了。

# 优化前
for i in range(StartIndex, n + 1):
# 优化后
for i in range(startIndex,n-(k-len(path))+2): 
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• 已经选择的元素个数：path.size();
• 还需要的元素个数为: k - path.size();
• 在集合n中至多要从该起始位置 : n - (k - path.size()) + 1，开始遍历,+1(包含起始位置)

class Solution:
    def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]:
        res=[]  #存放符合条件结果的集合
        path=[]  #用来存放符合条件结果
        def backtrack(n,k,startIndex):
            if len(path) == k:
                res.append(path[:])
                return
            for i in range(startIndex,n-(k-len(path))+2):  #优化的地方
                path.append(i)  #处理节点
                backtrack(n,k,i+1)  #递归
                path.pop()  #回溯，撤销处理的节点
        backtrack(n,k,1)
        return res
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5.总结

• 组合问题回溯法解决的经典问题
• 明确回溯三部曲:回溯函数要处理的参数以及返回值、回溯终止条件、单层搜索逻辑
• 画图思路更加清晰