【NOIP2018提高组/洛谷题解/AcWing题解/计蒜客题解】货币系统

原题链接：
AcWing532.
洛谷P5020
计蒜客T2051
难度：普及+/提高（TGD1T2）
涉及知识点：数学，线性代数，动态规划，完全背包问题求方案数

题意分析概括

    给定一个长度为 $n$ 的序列，如果任意一个非负整数 $x$ 都存在 $n$ 个非负整数 $t[i]$ 满足 $a[i]\times t[i]$ 的和为 $x$，则称为“完善的”货币系统，但这个货币系统往往是不完善的。要求找到一个正整数 $m$，使一个长度为 $m$ 的序列与给定序列“等价”，等价的定义是当且仅当对于任意非负整数 $x$，它要么均可以被两个货币系统表出，要么不能被其中任何一个表出。

分析与解决

    通过通读题意，我们不难发现该题的题意类似于线性代数中的极大线性无关组和极大独立集，所以具有一定线代基础的读者可能会更容易理解题意。总的来说，该题无非就是保留必须保留的，什么是必须保留的，就是这个数，我无法通过其他元素拼凑起来，就是必须保留的。

    那么，我们先需要挖掘一些数学性质来帮助我们做题。
    首先，为了满足题意，$a$ 中的任意一个元素都是能被 $b$ 中的某些元素表示出来的，这样才能使“均可以被两个货币系统表出”，至于另外一个情况，只要我们不自行添加非事先给定元素，就不会发生，这就是性质一。既然是要求最优解，让 $m$ 尽可能的小，那么 $b$ 中的任意一个元素也是一定不能被 $b$ 中的其他元素表示出来的，否则这个 $b_i$ 可以被删除，不满足答案最优性，这就是性质二。
    最后一个，比较抽象也比较难想。实际上在最优解中，$b$ 中的所有元素都是从 $a$ 中选出的。如何证明其正确性呢？考虑反证法。如果 $b$ 中的某个元素 $b_i$ 不是从 $a$ 中挑选的，但它又一定满足性质一，也就是 $b_i$ 可以被 $a$ 中的某些元素表示出来，而根据性质一，这些表示 $b_i$ 的 $a$ 的元素，也一定是可以被 $b$ 中的某些元素表示出来的，那么最后就得出 $b_i$ 也一定会被 $b$ 中的其他元素表示出来，与性质二矛盾，不满足答案最优性。故此，得出性质三。
总结一下，我们总共发现了三条数学性质：

• $a$ 中的任意一个元素都是能被 $b$ 中的某些元素表示出来的
• $b$ 中的元素一定是可以被 $b$ 中的其他元素表示出来的
• $b$ 中的元素一定是从 $a$ 中挑选的

    以线性代数思想整理完数学性质，我们再来讨论如何以信息学的角度解决问题。不难发现，该题的关键词在于“挑选”。把 $a$ 中的任意一个数看做一个物品，这个物品的体积为 $a_i$，且允许被选择无穷大次（由题意得），最后求这个数可以被拼凑的方案数，如果这方案数为0，则说明这个数不能被其他数表示出来，必须选择；如果存在方案，则说明该数可以被略去。方案数为0的元素总数，就是我们要求的 $m$。不难发现，问题被转换成为了经典的完全背包问题求方案数。
    有一个细节问题，在作完全背包之前先要做一遍排序，因为显然对于任意正整数只能被比它小的某些数拼凑起来，换句话说，最前面的数是肯定要选的，因为没有数比它更小，我没办法用其他数把它表示出来。

AC代码

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 110, M = 3e4;

int T, n;
int f[M], a[N];

int main()
{
    cin >> T;
    while (T--)
    {
        memset(f, 0, sizeof f);
        cin >> n;
        for (int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];
        
        sort(a, a + n);
        int m = a[n - 1]; //最大“体积”
        
        int res = 0;
        f[0] = 1;
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            if (!f[a[i]]) res++;
            for (int j = a[i]; j <= m; j++)
            {
                f[j] += f[j - a[i]];
            }
        }
        cout << res << endl;
    }
    return 0;
}
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