本人计算机专业的，本想直接学习顾险峰老师的计算共形几何学课程，但无奈看起来很吃力，于是想补一点基础拓扑学，但是拓扑学又涉及到微分几何，于是找来梁灿彬老师的《微分几何入门与广义相对论》打算拜读前五章，此文章为阅读时的一些笔记。

但是这种书吧不可避免的喜欢先堆一堆的知识而不结合应用，让人看了不知道有啥用，为什么要定义这玩意，看了想睡觉😪 还是找个 视频 看看

连续性

先来点定义。。。

微积分中连续性的定义是这样的：$一元函数f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}在x\in \mathbb{R}是C^0连续if\forall ϵ>0\exists \delta >0s.t.|x^{\prime }-x|<\delta ⟹|f(x^{\prime })-f(x)|<ϵ$

映射的连续性定义是这样的：$一元函数f:X\to Y是C^0连续，则Y的任何开区间的逆像是X的开区间之并$ （逆像就是把y看作自变量，把x看作因变量，两个互换一下）

为什么是开区间之并就连续？这里给出直观的例子说明，严格证明就得自己去找了蛤蛤

图1-2(c) 区间(a’, c’] 是半开区间，不符合连续的定义，不是开区间，所以不连续

逆映射通常只适用于一对一的映射，因为如果是多对一，逆回去的话可能会一对多，但是！
这里定义的逆映射不同，这里的 “逆像”是X的子集而不是X的元素。我来举个例子，比如X中的两个元素x0, x1都映到y0, 因为是集合到集合的映射，所以y0要写作 {y0} ，{y0} 的逆映射就是 {x0, x1}。如果X没有元素映射到y1，那么y1的逆映射是空集，{y0, y1}的逆映射是 {x0, x1}, 是两个集合的并。能够应付对多一对情况。更严谨的说法如下：

FYI:
一一映射：双射（既是单射又是满射）

$:=$ : 定义号
$\equiv$: 记作

开子集

我们要对映射 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 连续的定义进行推广，推广到集合（上面其实已经开始用了），因为不是所有的东西都有区间，有区间得有一定顺序。推广的方式是：把 $\mathbb{R}$ 的任一可以表示为开区间之并的子集称为开子集（open subset，简称open set开集），其它的子集叫做非开子集（切记不叫闭子集吼） 。

对于集合$\mathbb{R}$来说，开子集有三个本质的抽象的（因而便于推广的）性质：

1. $\mathbb{R}$和空集都是开子集。
2. 有限个（不可以无限个）开子集之交仍是开子集（在最后面的练习部分会举一个例子）
3. 任意个（可以无限个）开子集之并仍是开子集
   （这三个下文会经常提到！）

拓扑空间

• 满足上面三个性质的要求给集合X赋予了一种附加结构，称为拓扑结构。
• 用$\mathcal{P}$代表由X的全体子集组成的集合，包括开子集和非开子集（X的子集是其中的元素，如图1-3，集合X的一个开子集O在X中是一个圈，在$\mathcal{P}$中是一个点）
• X的全体开子集也组成一个集合，称为X的一个拓扑，记作$\mathcal{T}$（topology中t的花体大写）
  拓扑是开子集的集合，在图1-3中是一个圈。上面的性质一在这里可以写作 $X,\varnothing \in \mathcal{T}$。有很多的方式可以选拓扑，但是都必须满足上面三个性质。
• 一个集合可以选不同的拓扑，配上不同的拓扑就形成了不同的拓扑空间。记作 (X，$\mathcal{T}$)、(X，${\mathcal{T}}^{\prime }$)，这是两个不同的拓扑空间，因为它们的拓扑不一样即使“底集”X是一样的。
  

上面的三个性质也可以写成这个样子：

凝聚拓扑

X和空集为开集，其他子集都非开
$\mathcal{T}=X,\varnothing$ 这是满足三个性质开集最少的例子

离散拓扑

X的任意子集都是开集
$\mathcal{T}$为X的全部子集的集合（离散空间中，X的每一个子集都是开集，这句话暂时不去深究）

通常拓扑

usual topology

要讨论一个集合是否是开集，首先要明确拓扑。比如凝聚拓扑，它就钦定全集和空集是开集，其它的不管再像也不是开集。一般没有声明是什么拓扑，默认是通常拓扑

诱导拓扑

induced topology

看这个定义是不是有点晕？看个例子吧

看完这个例子再回去看定义会清晰很多。

同胚

说到同胚，先来定义连续。和前面谈到映射的连续差不多，这里只是稍作变形，开区间变成开集：

O是Y的开集，$f^{-1}[O]$表示O的逆映射，也要是开的

一句话就是存在一个映射，一一到上，正反连续。（到上，即满射）

同胚的定义是拓扑空间之间的映射的最高要求，两个互相同胚的拓扑空间已经像得不能再像了，可以视为相等。

练习

1. 举一反例证明命题“$(\mathbb{R},{\mathcal{T}}_u)$的无限个开子集之交为开“不真

交集是越交越小，但如果交到最后是空集，倒也还是开的（空集规定为开集），如果无限交到最后变成了一个点或者一堆散点，那么就不开了。一个简单的例子是考虑开区间族$(-\frac{1}{n},\frac{1}{n})\in {\mathcal{T}}_u,(n=1,2,...)$ 有限个开子集之交是开的，但是无限个交 ${\cap }_{n=1}^{\infty }(-\frac{1}{n},\frac{1}{n})$就退化为 { 0 } \{0\} {0}，不开

3. 常值映射 $f:(X,\mathcal{T})\to (Y,\mathcal{S})$是否连续？为什么？
   连续。
   常值映射指X上的元素映射到Y上都是同一个元素、一个固定的值（比如一个点），写成符号语言就是：$\forall x\in X,x\mapsto f(x)=y_0\in Y$ （$\mapsto$表示映射的意思，元素与元素之间的映射）。
   复习一下连续的定义：
   
   回到题目。对于 $\forall O\in S,要么f^{-1}[O]=\varnothing （当y_0\notin O\in S),要么f^{-1}[O]=X（当y_0\in O)$ 。因为$\varnothing ,X$ 都是$\mathcal{T}$ 的元素，所以$f^{-1}[O]\in \mathcal{T}$，根据连续的定义，这一映射连续。

4. 设 $\mathcal{T}$ 为集 $X$ 上的离散拓扑，$\mathcal{S}$ 为集 $Y$ 上的凝聚拓扑
   

（偷懒一下，直接放参考答案，里面提到的定义上文都有，习题8指本文的习题2。欢迎讨论）

有什么错误或者疑问可以在评论区留言：）