Yet Another ABC String

题解

首先看到这个题，一个方向是去考虑容斥。
可以发现，如果有连续不合法部分的话，可以发现，他一定是一段连续的$...ABCABCABCABC...$。
这是一个非常好的性质，因为如果我们之间容斥不合法位置的起点集合的话是非常麻烦的，这可以让我们得到一个非常好的转化。
每次强制原串中的一些部分呈现我们上面所说的这样的连续段，容斥我们这些连续段的集合。

考虑选择一个这样长度为$n$的段，它所贡献容斥系数。
手推一下前几项可以发现，容斥系数在模$3$为$0$的位置上为$-1$，在模$3$为$1$的位置上为$1$，模$3$为$2$的位置上为$0$。
证明大概可以考虑通过递推式归纳证明，不是很会证明。（先留个坑）
好的，既然知道这东西了，我们也就很容易设计出来一个$dp$转移。
由于有效的要么是模$3$为$0$，要么模$3$为$1$，相当于要么让所有数都减去同样的个数，要么在这基础上挑一个数多减一次。
定义$d{p}_{i,j}$表示在构造一个长度为$i$的串，让每个数减去$\frac{i-j}{3}$，并且，进行$j$次挑一个数多减$1$的操作，得到的总系数和。
可以得到其转移式：
$$d{p}_{i,j}=d{p}_{i-1,k-1}+\sum _{k=1}^{\min (i,3j+1)}[k\equiv 1(\mathrm{mod}3)]d{p}_{i-k,j-\frac{k-1}{3}}-3[k\equiv 0(\mathrm{mod}3)]d{p}_{i-k,j-\frac{k}{3}}$$其中$d{p}_{i-1,k-1}$表示这个位置没被选择容斥，$3$的系数是由于模$3$为$0$的情况有$ABC,BCA,CAB$三种结构，模$3$为$1$的情况结构是固定的，没必要乘$3$。
答案显然可以通过$dp$值算出来，有
$$Ans=\sum \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-3i}{A-i,B-i,C-i}\right)d{p}_{n,n-i}$$。
再对上面的式子根据模$3$余数加个前缀和优化，我们就得到一个简单的$O\left(n^2\right)$的$dp$做法了。

接下来让我们来看看怎么优化上面的这个$dp$，不妨考虑生成函数。
定义二元生成函数$G(x,y)$，其中$[x^i{y}^j]G$代表$d{p}_{i,j}$的值。
通过$G$的递推式可以得到，
$$\begin{gathered} F=x+\sum _{i=1}^{\infty }{x}^{3i+1}{y}^i-3x^{3i}{y}^i=\frac{x-3x^{3}y}{1-x^{3}y} \\ G=\sum _{i=0}^{\infty }{F}^i=\frac{1}{1-F(x,y)}=\frac{1-x^{3}y}{1-x+2x^{3}y} \end{gathered}$$同样，考虑现在答案怎么计算。
$$Ans=\sum _{i=0}^{\min (A,B,C)}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-3i}{A-i,B-i,C-i}\right)[x^n{y}^i]G$$令$G^{\prime }=\frac{1}{1-x+2x^{3}y}=\sum (x-2x^{3}y{)}^i$，显然有$[x^n{y}^m]G=[x^n{y}^m]G^{\prime }-[x^{n-3}{y}^{m-1}]G^{\prime }$>
现在我们就只需要考虑$[x^n{y}^m]G^{\prime }$怎么算了，这个好搞，可以解方程，看两边分别贡献了多少。
有$a-3b=n,b=m\Rightarrow a=n-3m$，所以根据二项式定理可得，
$$[x^n{y}^m]G^{\prime }=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2m}{m}\right)(-2{)}^m$$带到上面的式子里面去就可以快速算出答案了。

时间复杂度$O\left(A+B+C\right)$。

源码

#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#pragma GCC optimize("Ofast")
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> pii;
#define MAXN 3000005
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
const LL INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int mo=998244353;
template<typename _T>
void read(_T &x){
    _T f=1;x=0;char s=getchar();
    while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
    while('0'<=s&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();}
    x*=f;
}
template<typename _T>
_T Fabs(_T x){return x<0?-x:x;}
int add(int x,int y,int p){return x+y<p?x+y:x+y-p;}
void Add(int &x,int y,int p){x=add(x,y,p);}
int qkpow(int a,int s,int p){int t=1;while(s){if(s&1)t=1ll*a*t%p;a=1ll*a*a%p;s>>=1;}return t;}
int nA,nB,nC,n,fac[MAXN],inv[MAXN],ff[MAXN],pw2[MAXN],ans;
void init(){
    fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=ff[1]=pw2[0]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        fac[i]=1ll*i*fac[i-1]%mo,
        ff[i]=1ll*(mo-mo/i)*ff[mo%i]%mo,
        inv[i]=1ll*ff[i]*inv[i-1]%mo;
    for(int i=1;i<=n;i++)pw2[i]=mo-add(pw2[i-1],pw2[i-1],mo);
}
int C(int x,int y){
    if(x<0||y<0||x<y)return 0;
    return 1ll*fac[x]*inv[y]%mo*inv[x-y]%mo;
}
int work(int x,int y){
    if(x<0||y<0||x<y+y)return 0;
    return 1ll*pw2[y]*C(x-y-y,y)%mo;
}
signed main(){
    read(nA);read(nB);read(nC);n=nA+nB+nC;init();
    for(int i=0;i<=min(nA,min(nB,nC));i++){
        int tmp=add(work(n,i),mo-work(n-3,i-1),mo);
        Add(ans,1ll*C(n-i*3,nA-i)*C(n-i*2-nA,nB-i)%mo*tmp%mo,mo);
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}
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谢谢！！！