线性代数

第1章 行列式

求二阶行列式：交叉相减

求三阶行列式：行/列展开定理
①若三阶行列式是上/下三角矩阵，则行列式的值直接为主对角线乘积

第4章 相似矩阵及二次型

4.1 方阵的特征值与特征向量

4.1.1 特征值

上/下三角矩阵的特征值，即是主对角线元素

4.1.2 特征向量

4.2 矩阵相似对角化

4.2.1 相似

(1 )相似定义

设A,B为n阶方阵，若存在可逆方阵P，使得 P^-1AP = B，则称 矩阵A与B相似，或称A,B是相似矩阵，记为A~B 。称P为A到B的相似变换矩阵或过渡矩阵。

(2) 相似性质：迹、行列式、特征值、秩相同

若A~B，则
① tr(A)=tr(B)
② |A|=|B|
③ 相似矩阵有相同的特征值 λ₁、λ₂、λ₃
④ 秩相等：r(A)=r(B)

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⇔①A与B 特征值相同 (但特征向量不同) → 迹相等：tr(A)=tr(B) 、行列式相等：|A|=|B| = λ₁λ₂…λ_n
⇔②A、B均可相似对角化：A~Λ1，且B~Λ2
→③秩相等：r(A)=r(B)

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4.2.2 相似对角化

可相似对角化的条件：
①有n个不同(互异)的特征值