今天来介绍一下数学上的叉乘与点乘的意义。

点乘

我们先来说明一下点乘。这里以向量$\vec{n}$与向量$\vec{E}$举例。
$$\vec{n}\cdot \vec{E}=|\vec{n}||\vec{E}|\cos \theta$$
其中$\theta$如下图所示，为向量$\vec{n}$与向量$\vec{E}$的夹角。

从上图可得，$OA$的长度即为向量$\vec{n}$在向量$\vec{E}$方向上的投影大小。且$OA=|\vec{n}|\cos \theta$。再用这个结果乘以向量$\vec{E}$的大小，我们可以理解为，将向量$\vec{E}$的长度扩大了$\vec{n}\cos \theta$倍。

总结一下，即$\vec{n}\cdot \vec{E}$表示的是，将向量$\vec{E}$的大小扩大向量$\vec{n}$在向量$\vec{E}$方向上的投影长度大小的倍数。或者，也可以理解为将向量$\vec{n}$的大小扩大向量$\vec{E}$在向量$\vec{n}$方向上的投影长度大小的倍数。这就是向量点乘的几何意义。

然而有一种特殊的情况，即向量$\vec{E}$为单位向量。那么此时，我们可以将$\vec{n}\cdot \vec{E}$理解为向量$\vec{n}$在向量$\vec{E}$方向上投影的长度。

叉乘

接下来，我们来说明一下叉乘。这里以向量$\vec{n}$与向量$\vec{E}$举例。
$$\vec{n}\times \vec{E}=|\vec{n}||\vec{E}|\sin \theta$$

如上图所示，$h=|\vec{n}|\sin \theta$表示平行四边形底边上的高，进一步乘以底边的长度$|\vec{E}|$即可得到平行四边形的面积，因此我们说，两个向量叉乘的几何意义表示的是由两个向量模的长度为平行四边形两条边的平行四边形的面积。

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