2022.8.16 模拟赛

T1

  究极大水题，一眼背包板子，然后就做完了。

T2

40pts

  直接考虑树形 $dp$，令 $f_{x,0}$ 表示 $x$ 的子树且不选 $x$ 的答案，$f_{x,1}$ 表示 $x$ 的子树且选 $x$ 的答案，那么：

f x , 1 = ∏ y ∈ s o n ( x ) f y , 0 f x , 0 = ∏ y ∈ s o n ( x ) max ⁡ { f y , 1 , f y , 0 }

fx,1​=fx,0​=​y∈son(x)∏​fy,0​y∈son(x)∏​max{fy,1​,fy,0​}​

  然后发现如果这样搞的话需要边取模边比大小，那么正确性就不能保证，所以要整个乘完之后再取模。但是这样显然就会爆 $longlong$，甚至会爆 __$int128$，所以我们要想想解决方案。

100pts

  首先考虑高精，算了一下发现存不下，空间爆炸了。

  然后考虑记录一个数被取模的次数，然后发现只能比较到 $1e36$ 就是极限了，但是我们的数据会到达 $1e(1.8e6)$，所以还是不行。

  于是这里就要用到一种比较聪明的做法，就是对点权取对数，这样要算 $xy$ 就可以转变成 $\log x+\log y$，这样就不用担心爆 $longlong$ 的问题了。

  然后就做完了。

T3

10pts

  最暴力的暴力，按照题目描述模拟就好了。

25pts

  题解上说的 $25pts$ 是 $O(n^2\log n)$ 的做法，但是这里我有 $O(n^2)$ 的做法qwq。

  还是沿用暴力的思路，枚举区间长度然后判断这个区间长度可不可行。纯暴力的话判断区间长度是否可行的复杂度就是 $O(n^2)$ 的，所以我们考了优化这个算法。

  我们发现，在暴力算法中我们在维护的一个东西就很想某一个算法的板子，没错，就是莫队。我们就在维护每一种数字的数量（弄一个桶），所以我们现在也考虑 $O(1)$ 移动区间端点。

  记录一个 $cnt$ 表示当前不满足条件的数字的个数，然后桶在移动端点的时候显然是可以 $O(1)$ 计算的，那么我们考虑对于一个端点产生的贡献，分三种情况：

1. 移动一个端点后，是的某一个数字一开始符合条件，移动后不符合条件，那么此时 $cnt++$。
2. 移动一个端点后，是的某一个数字一开始不符合条件，移动后符合条件，那么此时 $cnt--$。
3. 其他情况 $cnt$ 不变。

  于是我们可以暴力扫一遍每一个长度的第一个区间，然后 $O(1)$ 向后扩展，并判断 $cnt$ 是否等于 $0$。这个做法复杂度就是 $O(n^2)$ 的了。

？pts

  首先 $b$ 是单调不增的，也就是说大区间的约束没有小区间的严格，所以我们考虑从大区间加一些限制转到小区间。

  我们发现，如果一个大区间中的某一个数字 $p$ 会使得这个区间不合法，那么所有包含这个数字 $p$ 的小区间都是不合法的，所以我们考虑找出大区间中所有这样的 $p$，并把这些点删掉，然后大区间就变成了许多的小区间。这样就可以分治处理。

  但是这样的复杂度就有一点玄学了（据说是 $O(n\sqrt{n})$ 的），随便搞一搞就能知道应该过不了 $1e6$，所以还要继续优化。

100pts

  首先每一次都找出出现次数不满足限制的所有数字这就是 $O(n)$ 的，所以我们考虑每次只找到一个点然后一这个点为界拆分成两个区间，然后递归处理，这样不会影响正确性但是由于随便找一个点的位置是不均等的，所以时间会可能被卡成 $O(n^2)$，所以我们就要用到启发式合并的思想。

  想象递归向上合并，我们每次取小的合并，复杂度就一定是 $O(n\log n)$ 的，所以我们也沿用这种思路，看看能不能做到每次找到点 $p$ 并分成两段之后只用 $O(较小段)$ 的时间处理问题。

  于是我们考虑当前区间为 $[l,r]$ 并且我们拥有当前区间的桶，然后考虑怎样处理，处理的步骤如下：

1. 考虑从某一段返回时，清空这一段对桶的贡献。
2. 首先我们可以从两头同时向中间走，每次查询桶里的值查到不满足限制的就 $break$，这样找到 $p$ 的时间就是 $O(较小段)$。
3. 然后考虑分成两段，并找到较小的一段，一个循环暴力删掉较小段对桶的贡献，这样桶里面就只装的是较大段的贡献了，现在就可以递归进入较大段，时间仍然是 $O(较小段)$。
4. 然后从较大段回溯回来的时候因为有第一步，所以较大段对桶的贡献已经被清除了，所以现在只需要把较小段的贡献暴力加回来就能进入较小段递归了，时间还是 $O(较小段)$。

  这样一来，总体的时间复杂度就和启发式合并是相同的了，那么这道题就愉快的切掉了。