三门问题的 Python 实验数据 & 直观但非严谨的证明

异想之旅：本人原创博客完全手敲，绝对非搬运，全网不可能有重复；本人无团队，仅为技术爱好者进行分享，所有内容不牵扯广告。本人所有文章仅在CSDN、掘金和个人博客（一定是异想之旅域名）发布，除此之外全部是盗文！

---

原题描述

三门问题的主要内容表述如下：在这个电视节目中有三扇门，其中有且仅有一扇门后面放有汽车。

此时观众要随机选择一扇门，在参赛者选择了一扇门之后，主持人并不会立刻打开这扇门，而是从剩下的两扇门中打开一扇没有汽车的门。

随后主持人会给观众提供一次重新选择门的机会，此时观众可以保持自己的第一选择不变，也可以更换自己的选择选择另外一扇未被开启的门。

问：此时换门与不换，哪种选择选中汽车的概率更大？

（描述复制自三门问题 - 知乎，有删改）

先说答案：换门后概率更大，为 $\frac{2}{3}$ ；不换的话只有 $\frac{1}{3}$ 。

Python 实验

事实大于雄辩，我们可以使用 Python 对实际情况进行模拟：

import random


def which_choice_can_earn_car():
    # 初始化三扇门
    doors = [1, 2, 3]
    # 随机选择一扇门为有车的门
    car = random.choice(doors)
    # 随机选择一扇门为观众选择的门
    choice = random.choice(doors)

    # 可以被主持人开的门（不包括观众选择的门和有车的门）
    doors_can_be_opened_by_host = [i for i in doors if i not in [car, choice]]
    # 主持人在可开的门中随机选择的门
    door_opened_by_host = random.choice(doors_can_be_opened_by_host)

    # 假设观众更换门，则更换后的门一定是除去“第一次选择的门”和“主持人开的门”后剩下的唯一一个
    doors.remove(door_opened_by_host)
    doors.remove(choice)
    re_choice = doors[0]

    # 由于主持人打开的一定是没有车的门，因此车一定在观众两次选择的门之一中，直接判断这两个门后面是否有车，即可知道是否应该换
    if choice == car:
        return 'No change'
    elif re_choice == car:
        return 'Change'


if __name__ == '__main__':
    # 统计换门中奖和不换门中奖的次数
    change = 0
    no_change = 0
    # 测试一万次
    for i in range(10000):
        if which_choice_can_earn_car() == 'Change':
            change += 1
        else:
            no_change += 1
    # 输出结果
    print(f'Change: {change}\nNo change: {no_change}')
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40

第一次运行，神奇的 random 库就很给我面子，直接输出了理论概率：

Change: 6667
No change: 3333
1
2

由此可见，的确换门的概率为 $\frac{2}{3}$ ，不换门的概率依然是 $\frac{1}{3}$ （主持人不开任何门的中奖概率是 不用我再说了吧）

简单的分析证明

相信凭借九年义务教育的优秀成果，大家都认可这样下面这些结论：

1. 在这段代码运行过程中，对程序进行观测（例如输出更多中间的运算步骤）不影响运算结果
2. 第一次选中车的概率（即主持人不开门、直接在观众第一次选择后公布答案的情况下选中汽车的概率）为 $\frac{1}{3}$
3. 车在第一次选的门之外的两个门中的任意一个的概率为 $\frac{2}{3}$
4. 当主持人打开一扇门后，观众换为剩下的最后一扇门后，中奖的概率一定不是 $\frac{1}{3}$

（第一条也就是说，计算机程序运行不适用量子力学测不准原理，为了通俗易懂做前面的非严谨解释）

有了上面的结论 4 就好说了，我们现在只需要说明为什么换门后概率是 $\frac{2}{3}$ 而不是 $\frac{1}{2}$

从程序角度出发

我们将这段代码进行更改：

    # 初始化三扇门
    doors = [1, 2, 3]
    # 随机选择一扇门为有车的门
    car = random.choice(doors)
    # 随机选择一扇门为观众选择的门
    choice = random.choice(doors)
1
2
3
4
5
6

在最后增加一行输出语句，判断观众第一次的选择能否得到汽车：

    # 初始化三扇门
    doors = [1, 2, 3]
    # 随机选择一扇门为有车的门
    car = random.choice(doors)
    # 随机选择一扇门为观众选择的门
    choice = random.choice(doors)
    
    print(choice == car)
1
2
3
4
5
6
7
8

显然在此处输出为 True 的概率为 $\frac{1}{3}$ （结论2）

又由于变量 car 和 choice 的值均未发生变化，所以无论是在此处还是 which_choice_can_earn_car 函数的最后，这个判断语句答案为 True 的概率都不会发生变化

又因为在函数最后，主持人已经排除了一个没有车的门，所以车只有可能在第一次选的门和第二次选的门中的一个，而第二次选的门在观众第一次选完、且主持人打开一扇门后是唯一确定的，所以换选选中汽车的概率就是不换选未选中汽车的概率，即 $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$ 。

从直觉角度出发

最开始选中的概率是 $\frac{1}{3}$ ，选不中的概率为 $\frac{2}{3}$ 。

我们可以把未选择的这两扇门看作一个整体，这个整体的中奖概率就是 $\frac{2}{3}$ 。但是此时我们无法直接利用这个整体的概率，因为这里面还有两扇门，选择这个整体中的任意一扇结果仍是 $\frac{1}{3}$ 。

而主持人在这个整体的两扇门中打开了一扇没有汽车的门，此时我们选择这个整体便可以利用整个 $\frac{2}{3}$ 啦！因为看作整体后，局部的操作不会影响这个整体的概率，而此时整体中的选项从两个变成了一个，自然这一个就分配到了全部 $\frac{2}{3}$ 的概率。

再有说服力一点

我们把三扇门放大到一万扇门。

假设现在有一万扇门，一扇门后面有汽车。现在你随机选择一个，主持人打开了 9998 扇后面没有汽车的门，现在除了你选择的还剩下一个。

此时为了选中汽车，你换不换？相信大多数人的选择是换，并且你很容易接受，最开始我们选中的概率仅有万分之一，而如果我们第一个没选中，那么换门后一定选中，也就是说换门后的概率是 $1-\frac{1}{10000}=\frac{9999}{10000}$ 。

那么把 10000 换成 3，道理其实是一样的。

最朴素的树状图角度理解

图片来源：“三门问题”的理解_weixin_42467709的博客-CSDN博客_三门问题