【洛谷P1622】释放囚犯【区间DP】

题目描述

Caima 王国中有一个奇怪的监狱，这个监狱一共有 $P$ 个牢房，这些牢房一字排开，第 $i$ 个紧挨着第 $i+1$ 个（最后一个除外）。现在正好牢房是满的。

上级下发了一个释放名单，要求每天释放名单上的一个人。这可把看守们吓得不轻，因为看守们知道，现在牢房中的 $P$ 个人，可以相互之间传话。如果某个人离开了，那么原来和这个人能说上话的人，都会很气愤，导致他们那天会一直大吼大叫，搞得看守很头疼。如果给这些要发火的人吃上肉，他们就会安静点。

输入格式

第一行两个整数 $P$ 和 $Q$，$Q$ 表示释放名单上的人数；
第二行 $Q$ 个整数，表示要释放哪些人。

输出格式

仅一行，表示最少要给多少人次送肉吃。

样例输入 #1

20 3
3 6 14
1
2

样例输出 #1

35
1

样例说明 #1

先释放 $14$ 号监狱中的罪犯，要给 $1$ 到 $13$ 号监狱和 $15$ 到 $20$ 号监狱中的 $19$ 人送肉吃；再释放 $6$ 号监狱中的罪犯，要给 $1$ 到 $5$ 号监狱和 $7$ 到 $13$ 号监狱中的 $12$ 人送肉吃；最后释放 $3$ 号监狱中的罪犯，要给 $1$ 到 $2$ 号监狱和 $4$ 到 $5$ 号监狱中的 $4$ 人送肉吃。

数据规模与约定

• 对于 $50\%$ 的数据，$1\le P\le 100$，$1\le Q\le 5$；
• 对于 $100\%$ 的数据，$1\le P\le 10^3$，$1\le Q\le 100$，$Q\le P$。

分析

这道题看似是将区间“割裂”，但是反过来，我们用合并区间的思想做。

区间DP循环模板：长度 $len$+起点 $i$ +分割点 $k$

设$f[i][j]$为合并区间 $[a[i],a[j]]$ 的最小代价。

我们把 $a[0]$ 设为0，最后一个设为n+1。

当你选中一段连续区间中的一个人要放掉的时候，先用递归的思想考虑如何计算。对于最大的一个区间先分割一次，出现两个小区间，再分割直到有 $m-1$ 个区间，再统计单位区间的答案。但是递归实际上是递推，所以直接从小区间的值算起，然后合并成大区间，合并的代价与分割时计算的代价是一样的。
统计答案那当然是枚举这个区间内放谁，统计这个人在这个区间内影响的人，其实就是“扩展”到整个区间有多少要吃肉的，这个用 $a$ 数组减就可以了，然后要再减去自己本身和一个区间头的人

状态转移方程：$f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k-1]+f[k+1][j]+a[j+1]-a[i-1]-2);$

上代码

#include
#include
#include
using namespace std;

int n,m,a[110],f[1010][1010],last;

int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d",&a[i]);
	a[0]=0,a[m+1]=n+1; 
	for(int len=1;len<=m;len++)
	{
		for(int i=1;i<=m-len+1;i++)
		{
			int j=i+len-1;
			f[i][j]=0x3f3f3f3f;//只能对于这个初始化，其他都是0，不然没法更新 
			for(int k=i;k<=j;k++)
			{
				f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k-1]+f[k+1][j]+a[j+1]-a[i-1]-2);
				/*跳过k点，统计区间答案，递归思想的话就是变成子问题，但是这个地方
				是由小区间合并成大区间，-2是因为有个是本身，有个不存在*/ 
			}
		}
	}
	cout<<f[1][m];
	return 0;
} 
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