树状数组&线段树 的奇妙用法

树状数组只支持单点加，前缀查询，那么不妨通过一些奇妙的途径转化树状数组的性质（因为常数巨小）。

代码和数组定义如下：

I s[maxn],n;//n 为树状数组值域最大值
void pls(I x,I y){
    for(;x<=n;x+=x&-x)s[x]+=y;
}I sum(I x){
    I ans=0;
    for(;x;x-=x&-x)ans+=s[x];
    return ans;
}
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1.区间加，单点查询

树状数组维护差分数组即可。区间 $[l,r]$ 加 $k$ ，就只需给 $l$ 位置加上 $k$ ，$r+1$ 位置加上 $k$ ；单点查询的时候就查询 $[1,x]$ 的前缀和即可。

2.区间加，区间求和

从上一个思路出发开始乱搞（虽然线段树秒杀，但是还是有点常数而且结构上可能会有问题不好找）、

我们设 $c[i]$ 为差分数组，区间求和目标就是 $\sum _{i=l}^r\sum _{j=1}^{i}c[j]$ 。

发现不太好直接求解，于是转化成 $[1,r]$ 的和减去 $[1,l-1]$ 的和。这里以 $[1,r]$ 的求和为例。

原式= $\sum _{i=1}^r\sum _{j=1}^{i}c[j]$ ，交换主体，可得 $j$ 能够取 $[1,r]$ 之中所有数，而每个 $j$ 出现了 $r-j+1$ 次。

式子就变成了 $\sum _{j=1}^{r}c[j]\times (r-j+1)$ 。把可控的部分分离出来，得到 $(r+1)\times \sum _{j=1}^{r}c[j]-\sum _{j=1}^{r}j\times c[j]$ 。

所以维护两个数组，一个 $c[j]$ ，一个 $c[j]\times j$ 即可。