877. 扩展欧几里得算法

题目

给定 n 组 ai,pi，其中 pi 是质数，求 ai 模 pi 的乘法逆元，若逆元不存在则输出 impossible。

注意：请返回在 0∼p−1 之间的逆元。

乘法逆元的定义
若整数 b，m 互质，并且对于任意的整数 a，如果满足 b|a，则存在一个整数 x，使得 a/b≡a×x(modm)，则称 x 为 b 的模 m 乘法逆元，记为 b−1(modm)。
b 存在乘法逆元的充要条件是 b 与模数 m 互质。当模数 m 为质数时，bm−2 即为 b 的乘法逆元。

输入格式
第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一个数组 ai,pi，数据保证 pi 是质数。

输出格式
输出共 n 行，每组数据输出一个结果，每个结果占一行。

若 ai 模 pi 的乘法逆元存在，则输出一个整数，表示逆元，否则输出 impossible。

数据范围
1≤n≤105,
1≤ai,pi≤2∗109
输入样例：
3
4 3
8 5
6 3
输出样例：
1
2
impossible

费马小定理求逆元：只能求mod质数的逆元

#include 

using namespace std;

int qmi(int a, int b, int p){
    int res = 1;
    while(b){
        if(b & 1) res = (long long)res * a % p;
        a = (long long)a * a % p;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

/*
思路一：原式：a/b = a*x (mod m)
              1/b = x (mod m)
                1 = b*x (mod m)
                b*x (mod m) = 1 
       由费马小定理得：如果b 于 m 互质，即公约数只有1
                    b^(m-1) (mod m) = 1
                    即 b*b^(m-2) (mod m) = 1
                    则所求逆元x = b^(m-2) (mod m),可用快速幂求得
*/
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    while(n -- ){
        int a, p;
        scanf("%d%d", &a, &p);
        // 如果a 是 p 的倍数，即两者不是互质数，否则用快速幂求出a^(p-2)
        if(a % p)printf("%d\n", qmi(a, p-2, p));
        else puts("impossible");
    }
    
    return 0;
}
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拓展欧几里得算法求逆元：可以求模非质数的逆元

#include 

using namespace std;

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y){
    if(!b){
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a%b, y, x);
    y -= a/b * x;
    return d;
}
/**
 * 原式子：a/b = a*x (mod m)
 *         1/b = x (mod m)
 *           1 = b*x (mod m)
 *  假设存在y满足 b*x - m*y = 1
 *       等价于 b*x + m*y = 1 == gcd(b,m) 即b和m的最大公约数为1，即b与m互质
 *      可用拓展欧几里得算法求出x和y，但求出来的逆元x可能为负数，则根据题意逆元x可以对m取模，返回0~m-1之间的逆元
 **/
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    while(n --){
        int a, p;
        scanf("%d%d", &a, &p);
        int x, y;
        int d = exgcd(a,p,x,y);
        if(d == 1)printf("%d\n", ((long long)x%p + p) % p);//防止逆元x为负数，取模返回0~p-1之间的逆元
        else puts("impossible");
    }
    
    return 0;
}
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欧几里得算法/辗转相除法