1 两女孩问题

1.1 两女孩问题的来源

据说2女孩问题最早出自贝特朗悖论的变种：

• 原文是说知道有两个孩子，这时候性别相同概率是1/2。
• 然后得知其中一个孩子是女性或者男性这时候再去算性别相同的概率就变成1/3 了。  这是怎么回事呢？

1.2 网上争论很多，首先是题目文本的版本很多，其次是解答不同

题目的不同

• 题目的文本差别很大的影响了读者对题目意思的理解
• 这个维特根斯坦的语义研究估计是最看重的把。
• 确实一字之差，谬以千里，题目的辨析非常重要

题目：

• 一家有两个孩子，老大是女孩，求老二是女孩的概率是多少
• 一家有两个孩子，老大是女孩，求老二也是女孩的概率是多少
• 一家有两个孩子，其中1个是女孩，求另外一个也是女孩的概率是多少
• 等等

答案的不同

•   答案的不同，只能根据不同题目来具体分析

2 两女孩问题版本1

一家有两个孩子，老大是女孩，求老二是女孩的概率是多少

题目文本辨析：

• 问题是：老二是女孩的概率
• 因为2个孩子的性别，可以认为是2次独立的随机试验， 第2个孩子的性别单独来看就是独立的
• 老二是女孩还是男孩，和老大的性别没有关系
• 老二是女孩的概率=1/2

3 两女孩问题版本2

一家有两个孩子，老大是女孩，求老二也是女孩的概率是多少

其实，加不加“也”都一样，因为明确问的就是老二是性别

题目文本辨析：

• 一家有2孩子，其性别的样本空间是：{男男，男女，女男，女女}
• 但是这里我加了颜色
• 蓝色代表老大的性别，绿色代表老二的性别，而且老大排在老二前面
• 所以明确了老大是女孩，那么，这个条件下的样本空间就变了，变成了{女男，女女}

• 这个样本空间是等概率的吗？ 一般情况下没有其他信息，只能当成等概率的，古典概率模型
• 已知老大是女孩，求老二也是女孩概率
• 这就是条件概率
• P(老二是女孩|老大是女孩) = P(老二是女孩*老大是女孩) / P(老大是女孩)
•                                            ={女女}/{女男，女女} =1/2
• 这个答案和版本1一样，也就是

一家有两个孩子，老大是女孩，求老二是女孩的概率是多少

而解答方法也没有区别

• 题目加不加“也”都一样，因为明确问的就是老二是性别
• 是否用古典概率算，还是条件概率的方法算都一样。结果都是1/2

4 两女孩问题版本3

一家有两个孩子，其中1个是女孩，求另外一个也是女孩的概率是多少

特殊之处，没有明确得说是某个孩子性别，而是求 某1个是，另外一个也是得概率

题目文本辨析：

• 一家有2孩子，其性别的样本空间是：{男男，男女，女男，女女}
• 这里不需要加颜色，因为2个孩子的信息不明确，只知道其中1个是女孩，那么2个孩子的性别组合，从初始的4种排除了一种，变成了：{男女，女男，女女}

• 这个样本空间是等概率的吗？ 一般情况下没有其他信息，只能当成等概率的，古典概率模型
• 已知老大是女孩，求老二也是女孩概率
• 这就是条件概率
• P(另外1个也是女孩|1个是女孩) = P(另外1个也是女孩*1个是女孩) / P(1个是女孩)
•                                            ={女女} / {女男，女女，男女} =1/3

5 两女孩问题版本，回到原始悖论，并没有悖论

• 为什么没有悖论
• 因为第1句话说得是古典概型，等概率
• 第2句话，新增加了信息，是条件概率，这时候概率和古典概型不一样太正常了

• 原文是说知道有两个孩子，这时候性别相同概率是1/2。
• 然后得知其中一个孩子是女性或者男性这时候再去算性别相同的概率就变成1/3 了。  这是怎么回事呢？

  

题目文本辨析：

• 第1句话说了一个古典概型问题

原文是说知道有两个孩子，这时候性别相同概率是1/2。

• 一家有2孩子，其性别的样本空间是：{男男，男女，女男，女女}
• 所以性别相同的概率= {男男，女女}/{男男，男女，女男，女女}=1/4

• 第2句话是个条件概率问题

有两个孩子，然后得知其中一个孩子是女性或者男性，这时候再去算性别相同的概率就变成1/3 了。  这是怎么回事呢？

• 一家有2孩子，其性别的样本空间是：{男男，男女，女男，女女}
• 得知了其中1个孩子的性别，就是其中一个是女孩，那么另外一个是女孩的概率=1/3
• 这个等同于

一家有两个孩子，其中1个是女孩，求另外一个也是女孩的概率是多少

• 解释原因，为什么只有这种情况下是1/3，不是等概率1/2呢？
• 因为这个一个，另外一个的问法，没有确定的指明是某一个孩子的性别
• 只要确定说某一个孩子的性比，比如直接问老二的性别，那必须是1/2

• 第2句话是个条件概率问题，可以扩展改变

有两个孩子，然后得知老大是女性或者男性，这时候再去算老大和老二性别相同的概率就变成1/2 了

• 一家有2孩子，其性别的样本空间是：{男男，男女，女男，女女}
• 得知了老大性别女孩，样本空间变成了：{女男，女女}
• 那么老2是女孩的概率=1/2
• 这个条件概率，等同于古典概型，计算结果是一样的。可见和计算方法也没关系
• 也是因为老二性别和老大实际无关，是独立的。