正题

题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=7207

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题目大意

一个序列$a$，和它相同的序列当且仅当能通过以下操作实现相同：

• 将$a_1$丢到$a_n$，其余的向前移动一位。
• 令所有$a_i=(a_i+1)\%m$

对于$n\in [1,N]$，求有多少个不同的序列。

$1\le T\le 100,1\le N,m\le 10^5,\sum N\le 10^6$

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解题思路

根据$\text{burnside}$引理，我们要找所有置换的不动点数量和。

置换总共有$n\times m$种，假设一种为循环位移了$x$步，且所有数字加上了$y$。

那么我们有$a_i\equiv a_{(i+x)\%n}+y(\mathrm{mod}m)$，从一个数开始一直加$x$模$n$，我们知道会产生$\gcd (n,x)$个环，对于每个环来说总共加了$\frac{n}{\gcd (n,x)}$次$y$，最终又走回了起点。

也就是对于这个$y$来说合法的条件当且仅当$y\times \frac{n}{\gcd (n,x)}\equiv 1(\mathrm{mod}m)$，不难得到合法的$y$的数量就是$\gcd (m,\frac{n}{\gcd (n,x)})$。

所以答案就是
$$\frac{1}{nm}\sum _{i=0}^{n-1}\gcd (m,\frac{n}{\gcd (n,x)}{)}^{\gcd (n,i)}$$
$$\frac{1}{nm}\sum _{d|n}^n\phi (\frac{n}{d})\gcd (m,\frac{n}{d}{)}^d$$

时间复杂度：$O(n\log n)$

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code

#pragma GCC optimize(2)
%:pragma GCC optimize(3)
%:pragma GCC optimize("Ofast")
%:pragma GCC optimize("inline")
#include
#include
#include
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e5+10,P=998244353;
ll T,n,m,cnt,pri[N],phi[N],ans[N];
bool v[N];
ll power(ll x,ll b){
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1)ans=ans*x%P;
        x=x*x%P;b>>=1;
    }
    return ans;
}
ll gcd(ll x,ll y)
{return y?gcd(y,x%y):x;}
void Prime(){
	phi[1]=1;
	for(ll i=2;i<N;i++){
		if(!v[i])phi[i]=i-1,pri[++cnt]=i;
		for(ll j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<N;j++){
			v[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0){
				phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
				break;
			}
			phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];
		}
	}
	return;
}
signed main()
{
	Prime();
    scanf("%lld",&T);
    while(T--){
        scanf("%lld%lld",&n,&m);
        ll now=1,z=1;
        for(ll i=1;i<=n;i++){
        	z=z*m%P;
        	for(ll j=i;j<=n;j+=i)
        		(ans[j]+=z*phi[j/i]%P*gcd(m,j/i)%P)%=P; 
		}
		ll inv=power(m,P-2)%P;
		for(ll i=1;i<=n;i++){
			ans[i]=ans[i]*power(i,P-2)%P*inv%P;
			printf("%lld%c",ans[i],(i==n)?'\n':' ');
			ans[i]=0;
		}
    }
    return 0;
}
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