位运算的应用-----＞实现加减乘除

首先我们想想位操作符->  ^ （异或）

异或可以相当于无进位相加

同时我们的进位为信息也可以用 （x & y）<<1来表示

那么我么的“+”可以相当于是无进位相加数 + 进位信息。

但是我们模拟实验“+”所以不能出现加号。

什么时候不需要加上进位信息--->进位信息为0的时候。

那么我们就可以知道，位运算实现“+”

 public static int add(int a,int b){
        int x = a>b ? a : b;
        int y = x==a ? b : a;
        int sum = 0;
        while( y!=0 ){
            sum = x ^ y;
            y = (x & y)<<1;
            x = sum;
        }
        return sum;
    }

同时位运算实现减号---->就是

 private static int negNum(int n){
        return add(~n,1);
    }
   public static int minus(int x,int y){
        return add(x,negNum(y));
   }

将y--->进行取反+1就是-y.

x-y = x + (-y);

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乘号

首先我们先想想我们是如何实现乘法的

我们先看这个20---。

首先20的第一个数字是0.那么我们用0乘以12所得为零。-------第一阶段结果为0。

其次20的第二个数字为2.那么我们是先将2*12,然后将所得的数字的后面加一个0，------第二阶段的结果为240.

那么我们可以想象，我们所进行的十进位的数字的乘法，实际上的步骤是：

将乘数的第0位数字，单独和被乘数相乘，相乘所得数向前移动0位，然后得到一个阶段的数字

将乘数的第1位数字，单独和被乘数相乘，相乘所得数向前移动1位，然后得到一个阶段的数字

将乘数的第2位数字，单独和被乘数相乘，相乘所得数向前移动2位，然后得到一个阶段的数字

将乘数的第3位数字，单独和被乘数相乘，相乘所得数向前移动3位，然后得到一个阶段的数字

...................

直到乘数的所有非零的数字都进行上诉运算后，然后将所有得到的阶段数字进行相加，就得到乘法所得到的数字。

但是当我们使用到二进制位也是如此。

 public static int muli(int a,int b){
       int sum = 0;
       while(b != 0){
           if((b & 1)!=0){
               sum = add(sum,a);
           }
           a<<=1;
           b>>>=1;
       }
       return sum;
   }

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接下来我们说说除法。

我们先了解一下我们平时是如何进行除法运算的。

首先我们十进制的除法运算，是首先从头开始

首先我们先从被除数中重头找到大于除数的数字，然后我们利用那么我们就能够算最大为几倍，然后相减。剩下的数字我们就继续找到，知道我们的被除数小于我们的除数的时候我们就得出结论

private static int div(int a,int b){
        int x = isNeg(a) ? negNum(a) : a;
        int y = isNeg(b) ? negNum(b) : b;
        int res = 0;
        for(int i = 30;i>=0; i = muli(i,1)){
            if((x>>i)>=y){
                res |= (1<
                x = minus(x, y<< i);
            }
        }
        return isNeg(a) ^ isNeg(b) ? negNum(res) : res;
   }

同时我们还是有一个问题需要我们来考虑，就是我们的这个类型是一个int类型的。当我们出现Integer.MIN_VALUE---->最小值的时候我们就没有办法转化成正数。那么我们就是需要特殊问题特殊处理了

1.除数和被除数都是Integer.MIN_VALUE----->直接返回1.

2.除数是Integer.MIN_VALUE,被除数不是。------>返回0.

3.除数不是，被除数是---->特殊情况特殊考虑。

4.除数和被除数都不是Integer.MIN_VALUE----->直接调用

特殊情况的讨论：

首先知道系统最小值是的绝对值比系统最大值的绝对值大1.

其次我们的Integer.MIN_VALUE--->无法转成正数，但是我们可以先将Integer.MIN_VALUE+1，这样就可以转成正数，同时我们算出来的余数在加上1，再进行一次除法计算，将两次得到结果相加就是我们特殊情况的处理

   private static int div(int a,int b){
        int x = isNeg(a) ? negNum(a) : a;
        int y = isNeg(b) ? negNum(b) : b;
        int res = 0;
        for(int i = 30;i>=0; i = minus(i,1)){
            if((x>>i)>=y){
                res |= (1<
                x = minus(x, y<< i);
            }
        }
        return isNeg(a) != isNeg(b) ? negNum(res) : res;
   }
   public static int divide(int a,int b){
        if(a == Integer.MIN_VALUE && b==Integer.MIN_VALUE){
            return 1;
        }else if(b == Integer.MIN_VALUE){
            return 0;
        }else if(a == Integer.MIN_VALUE){
            if(b == negNum(1)){
                return Integer.MAX_VALUE;
            }else{
                int c = div(add(a,1),b);
                return add(c,div(minus(a,muli(c,b)),b));
            }
        }else{
            return div(a,b);
        }
   }

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    public static int add(int a,int b){
        int x = a>b ? a : b;
        int y = x==a ? b : a;
        int sum = 0;
        while( y!=0 ){
            sum = x ^ y;
            y = (x & y)<<1;
            x = sum;
        }
        return sum;
    }
    private static int negNum(int n){
        return add(~n,1);
    }
   public static int minus(int x,int y){
        return add(x,negNum(y));
   }
   public static int muli(int a,int b){
       int sum = 0;
       while(b != 0){
           if((b & 1)!=0){
               sum = add(sum,a);
           }
           a<<=1;
           b>>>=1;
       }
       return sum;
   }
   private static boolean isNeg(int x){
        return x<0;
   }
   private static int div(int a,int b){
        int x = isNeg(a) ? negNum(a) : a;
        int y = isNeg(b) ? negNum(b) : b;
        int res = 0;
        for(int i = 30;i>=0; i = minus(i,1)){
            if((x>>i)>=y){
                res |= (1<
                x = minus(x, y<< i);
            }
        }
        return isNeg(a) != isNeg(b) ? negNum(res) : res;
   }
   public static int divide(int a,int b){
        if(a == Integer.MIN_VALUE && b==Integer.MIN_VALUE){
            return 1;
        }else if(b == Integer.MIN_VALUE){
            return 0;
        }else if(a == Integer.MIN_VALUE){
            if(b == negNum(1)){
                return Integer.MAX_VALUE;
            }else{
                int c = div(add(a,1),b);
                return add(c,div(minus(a,muli(c,b)),b));
            }
        }else{
            return div(a,b);
        }
   }
   private static int mod(int x,int y){
        if((y & (minus(y,1)))==0){
            return x & (minus(y,1));
        }else{
            for(int i = 30;i>=0; i = minus(i,1)){
                if((x>>i)>=y){
                    x = minus(x,y<
                }
            }
            return x;
        }
   }