4405. 统计子矩阵

给定一个 N×M 的矩阵 A，请你统计有多少个子矩阵 (最小 1×1，最大 N×M) 满足子矩阵中所有数的和不超过给定的整数 K?

输入格式
第一行包含三个整数 N,M 和 K。

之后 N 行每行包含 M 个整数，代表矩阵 A。

输出格式
一个整数代表答案。

数据范围
对于 30% 的数据，N,M≤20，
对于 70% 的数据，N,M≤100，
对于 100% 的数据，1≤N,M≤500;0≤Aij≤1000;1≤K≤250000000。

输入样例：
3 4 10
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
输出样例：
19
样例解释
满足条件的子矩阵一共有 19，包含：

大小为 1×1 的有 10 个。
大小为 1×2 的有 3 个。
大小为 1×3 的有 2 个。
大小为 1×4 的有 1 个。
大小为 2×1 的有 3 个。

分析

此题就是二维前缀和 和 双指针，公式模板如下，可以画个方格图，每个方格就是一个点，就更清晰：
S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和 ：a[i][j]=a[i][j]+a[i-1][j]+a[i][j-1]-a[i-1][j-1];
以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]

四层for暴力解法 O(N4)（70分）

枚举每个点为起点，和枚举每个点为终点，这样就可以得到所有的子矩阵（不重不漏），但时间复杂度是O(n^4），会超时；

#include 

using namespace std;

int n, m, k;
int a[505][505];
long long ans = 0;

int main() {
    cin >> n >> m >> k;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= m; ++j) {
            cin >> a[i][j];
            //二维前缀和，第i行j列格子左上部分所有元素的和
            a[i][j] = a[i][j] + a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1];
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= m; ++j) {
            for (int l = i; l <= n; ++l) {
                for (int p = j; p <= m; ++p) {
                    //以(i, j)为左上角，(l, p)为右下角的子矩阵的和为：
                    int sum = a[l][p] - a[l][j - 1] - a[i - 1][p] + a[i - 1][j - 1];
                    if (sum <= k)
                        ans++;
                }
            }
        }
    }
    cout << ans;
    return 0;
}


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双指针优化 O(N3)

i,j分别表示一个区域的左右边界，p，q来表示上下两个指针，p一开始在最上面，不断向下来找q，至到权值和小于等于k（而且不能越界也就是p>q），然后p q这片区域的行数q-p+1就是子矩阵的个数;

#include 

using namespace std;

int n, m, k;
int a[505][505];
long long ans = 0;

int main() {
    //ios::sync_with_stdio(false);
    //cin >> n >> m >> k;
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= m; ++j) {
            scanf("%d", &a[i][j]);
            //二维前缀和，第i行j列格子左上部分所有元素的和
            a[i][j] += a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1];
        }
    }
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        for (int j = i; j <= m; ++j) {
            for (int p = 1, q = 1; q <= n; ++q) {
                while (p <= q && a[q][j] - a[q][i - 1] - a[p - 1][j] + a[p - 1][i - 1] > k) {
                    //一直让p指针下移到权值和<=k
                    p++;
                }
                if (p <= q) {
                    //在当前i,j的情况下，此时p q 之间的所有子矩阵都满足条件,一共q-p+1行
                    ans += (q - p + 1);
                }
            }
        }
    }
    cout << ans;
    return 0;
}


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