【高等数学】弧微分、渐近线、曲率和曲率半径

（六）弧微分、渐近线、曲率和曲率半径

1、弧微分

直角坐标系：$ds=\sqrt{(dx{)}^2+(dy{)}^2}=\sqrt{1+[y^{\prime }(x){]}^2}dx$

极坐标系：$ds=\sqrt{[r(\theta ){]}^2+[r^{\prime }(\theta ){]}^2}$

2、渐近线

有曲线$y=y(x)$

1、铅锤渐近线$x=x_0$

若$x=x_0$是铅锤渐近线，则$x=x_0$是曲线y=y(x)的第二类无穷型间断点

2、水平渐近线$y=y_0$

若$y=y_0$是水平渐近线，则${\lim }_{x\to +\infty }y(x)=b$，或者${\lim }_{x\to -\infty }y(x)=b$

3、斜渐近线$y=kx+b$

若$y=kx+b$是斜渐近线，则${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{y(x)}{x}=k$，$b={\lim }_{x\to \pm \infty }y(x)-kx$

3、曲率和曲率半径

曲率：曲率是一个绝对值，$\alpha$是曲线上任意一处的倾斜角

直角坐标系：$K=\frac{｜d\alpha ｜}{｜ds｜}=\frac{｜y^{\prime \prime }(x)｜}{\sqrt{(1+y^{\prime }(x){)}^3}}$

参数方程：$K=\frac{｜d\alpha ｜}{｜ds｜}=\frac{｜x^{\prime }(t)y^{\prime \prime }(t)-x^{\prime \prime }(t)y^{\prime }(t)｜}{\sqrt{(x^{\prime }(t)+y^{\prime }(t){)}^3}}$

曲率半径：
$R=\frac{1}{K}$

4、函数作图的步骤

1. 确定定义域、间断点、周期性、对称性

2. 求一阶和二阶导数，并确定零点和不存在点

3. 确定单调性和极值、拐点和凸性

4. 确定渐近线和特殊点

5. 描点连线

判断间断点类型和求导是最核心的步骤