Review of Linear Algebra

点乘

图形学中默认使用列向量

• 二维

a ⃗ ⋅ b ⃗ = ( x a y a ) ⋅ ( x b y b ) = x a x b + y a y b \vec{a} \cdot \vec{b}=\left(

\right) \cdot\left(\right)=x_{a} x_{b}+y_{a} y_{b} a ⋅b =(xa​ya​​)⋅(xb​yb​​)=xa​xb​+ya​yb​

• 三维

a ⃗ ⋅ b ⃗ = ( x a y a z a ) ⋅ ( x b y b z b ) = x a x b + y a y b + z a z b \vec{a} \cdot \vec{b}=\left(

\right) \cdot\left(\right)=x_{a} x_{b}+y_{a} y_{b}+z_{a} z_{b} a ⋅b =⎝ ⎛​xa​ya​za​​⎠ ⎞​⋅⎝ ⎛​xb​yb​zb​​⎠ ⎞​=xa​xb​+ya​yb​+za​zb​

• 作用
  • 找到两个向量间的夹角
  • 找到一个向量在另一个向量上的投影
  • 分解向量
  • 方向性：根据点乘的值 （$[-1,1]$）

叉积

a ⃗ × b ⃗ = ( y a z b − y b z a z a x b − x a z b x a y b − y a x b ) \vec{a} \times \vec{b}=\left(

\right) a ×b =⎝ ⎛​ya​zb​−yb​za​za​xb​−xa​zb​xa​yb​−ya​xb​​⎠ ⎞​

• Later in this lecture

a ⃗ × b ⃗ = A ∗ b = ( 0 − z a y a z a 0 − x a − y a x a 0 ) ( x b y b z b ) \vec{a} \times \vec{b}=A^{*} b=\left(

\right)\left(\right) a ×b =A∗b=⎝ ⎛​0za​−ya​​−za​0xa​​ya​−xa​0​⎠ ⎞​⎝ ⎛​xb​yb​zb​​⎠ ⎞​

• 作用
  • 判断向量的左右关系：
    • 叉积为正在左侧，否则在右侧
  • 判断一个点是否在三角形内：$P$ 点在三条边的同侧（正负号相同）
    • Corner Case：结果为0，自己定义在内侧还是外侧

正交坐标系

Any set of 3 vectors (in 3D) that
∥ u ⃗ ∥ = ∥ v ⃗ ∥ = ∥ w ⃗ ∥ = 1 u ⃗ ⋅ v ⃗ = v ⃗ ⋅ w ⃗ = u ⃗ ⋅ w ⃗ = 0 w ⃗ = u ⃗ × v ⃗  (right-handed) 

​∥u ∥=∥v ∥=∥w ∥=1u ⋅v =v ⋅w =u ⋅w =0w =u ×v  (right-handed) ​

• 可以将任意一个向量分析到这三个轴上：投影方法

$$\vec{p}=(\vec{p}\cdot \vec{u})\vec{u}+(\vec{p}\cdot \vec{v})\vec{v}+(\vec{p}\cdot \vec{w})\vec{w}$$

矩阵

• 矩阵乘法：需要算第几行第几列，就去找第几行第几列，把两个向量点乘起来

  • Element $(i,j)$ in the product is the dot product of row $i$ from $A$ and column $j$ from $B$

  • 没有交换率

  • 有以下规律

    • $(AB)C=A(BC)$
    • $A(B+C)=AB+AC$
    • $(A+B)C=AC+BC$

  • 向量可以当作列矩阵

• 矩阵转置

  • 交换行和列 $(ij\to ji)$

  ( 1 2 3 4 5 6 ) T = ( 1 3 5 2 4 6 ) \left(

  123456" role="presentation" style="position: relative;">135246$$\begin{array}{ll}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}$$
  \right)^{T}=\left(
  135246" role="presentation" style="position: relative;">123456$$\begin{array}{lll}1& 3& 5\\ 2& 4& 6\end{array}$$
  \right) ⎝ ⎛​135​246​⎠ ⎞​T=(12​34​56​)
  • 性质： $(AB{)}^T=B^T{A}^T$

• 单位矩阵

  • 是一个对角阵，只有对角线上有非0元素

  • 来定义矩阵的逆
    I 3 × 3 = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) I_{3 \times 3}=\left(

    100010001" role="presentation" style="position: relative;">100010001$$\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}$$
    \right) I3×3​=⎝ ⎛​100​010​001​⎠ ⎞​

• 矩阵的逆

  • $A{A}^{-1}=A^{-1}A=I$
  • $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$

矩阵形式的向量点乘&叉乘操作

• Dot product

a ⃗ ⋅ b ⃗ = a ⃗ T b ⃗ = ( x a y a z a ) ( x b y b z b ) = ( x a x b + y a y b + z a z b )

=​a ⋅b =a Tb (xa​​ya​​za​​)⎝ ⎛​xb​yb​zb​​⎠ ⎞​=(xa​xb​+ya​yb​+za​zb​)​

• Cross product

a ⃗ × b ⃗ = A ∗ b = ( 0 − z a y a z a 0 − x a − y a x a 0 ) ( x b y b z b ) \vec{a} \times \vec{b}=A^{*} b=\left(

\right)\left(\right) a ×b =A∗b=⎝ ⎛​0za​−ya​​−za​0xa​​ya​−xa​0​⎠ ⎞​⎝ ⎛​xb​yb​zb​​⎠ ⎞​

PS：$A^{\ast }$ ：dual matrix of vector $\vec{a}$