本文为软件部2022届讲课底稿，作者5月份的时候决定出国，遂卷绩点和英语去了，本文诸多疏漏请多包涵，毕竟不是专业算法选手。

目录

背包问题的背景是什么？

完全背包问题的背景

完全背包问题的分析

朴素写法

完全背包问题的优化(滚动数组) 

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背包问题的背景是什么？

现在有一个背包，体积是v，给定一些物品，这些物品有他们各自的体积vi，也有他们各自的价值权重wi，想要找出怎么装背包，才可以使背包里物品的总价值最大。

问题一：背包必须装满吗？

答：不是。

完全背包问题的背景

现在手上有一个背包，给定 n 件物品，每件物品有无数个。物品 i 的重量是 wi，其价值为 vi，背包的容量为 C。问应如 何装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？

问题二： 01背包和完全背包问题的区别？

答：01背包问题中每件物品只可以选取一次，完全背包无限次。

完全背包问题的分析

问题三：完全背包问题中集合是怎么来进行划分的？

答：“在前i件物品中选取，有一个容量为j的背包，这其中所有的装法”是一个集合，完全背包问题中以第i件物品选取数量的多少(0件，1件，2件，3件，4件........k件) ,如上图所示。

问题三：完全背包问题的公式推导结果是什么？

答：

问题四：问题三中的代码很难写，怎么简化？

答：可以利用公式进行等价替代，过程如下。

 

y氏dp分析法：

朴素写法

利用之前已经推好的公式

#include
using namespace std;
const int N=1005;
int dp[N][N];
int v[N],w[N];
int n,m;
 
int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>v[i]>>w[i];
	}
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
		    dp[i][j]=dp[i-1][j];
			if(j>=v[i]) dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-v[i]]+w[i]);
		}
	}
	
	cout<
	return 0;
}

完全背包问题的优化(滚动数组) 

如上图，公式f[i][j-v[i]]是利用本层的来更新的，在滚动数组中需要用到最新更新的值，所以是正序循环更新滚动数组。 

#include
using namespace std;
const int N=1005;
int dp[N][N];
int v[N],w[N];
int n,m;
 
int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>v[i]>>w[i];
	}
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
		    dp[i][j]=dp[i-1][j];
			if(j>=v[i]) dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-v[i]]+w[i]);
		}
	}
	
	cout<
	return 0;
}