【考研数学】六. 三重积分

三重积分

基础知识点1 三重积分的概念

看到这个三重积分的符号就是了：
$$\iiint$$

基础知识点2 被积函数为1时三重积分的意义

积分区域的体积

基础知识点3 五个必须背下来的图

看到这些方程需要会画大致的图

1. 无限往上往下延伸的圆柱体的侧面

$$x^2+y^2=a^2$$

2. 以原点为顶点的上下倒圆锥的侧面

$$\frac{z^2}{c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$$

如果开方，则只有一半的倒圆锥c>0

3. 一个碗

$$cz=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$$

4. 球半径在x0,y0,z0，半径为a的一个球
5. 椭球

核心考点1 三重积分的计算

看积分区域，决定是球坐标系还是直角坐标系

再看被积函数，确定内定外二法（出现了x，y）或者内二外定（没出现x，y）

内定外二法：

外层二重积分的积分区域：投影到xOy面

内层定积分的积分上下限：在投影区域中任取一点，做平行于z周的直线。

内二外定法

外层定积分的积分上下限：z的最大值和最小值

内层二重积分的积分区域：一个与x0y面平行的面。

心得

• 对于二重积分或三重积分，被积函数都不能代入积分区域的限制。

• 三重积分求质心：

  • x的坐标：对x*ρ的三重积分 / 对 ρ的三重积分