混合背包问题

【题目来源】
https://www.acwing.com/problem/content/7/

【问题描述】
​有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。
物品一共有三类：
第一类物品只能用1次（01背包）；
第二类物品可以用无限次（完全背包）；
第三类物品最多只能用 si 次（多重背包）；
每种体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

【输入格式】
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。
si=−1 表示第 i 种物品只能用1次；
si=0 表示第 i 种物品可以用无限次；
si>0 表示第 i 种物品可以使用 si 次；

【输出格式】
输出一个整数，表示最大价值。

【数据范围】
0 0 −1≤si≤1000

【输入样例】
4 5
1 2 -1
2 4 1
3 4 0
4 5 2

【输出样例】
8

【算法分析】
混合背包问题并不是什么难题，它只是0-1背包问题、完全背包问题、多重背包问题等的组合而已。
也就是说，在混合背包问题中，有些物品只能取一次（0-1背包），有些物品可以取无限次（完全背包），有些物品可以取有限次（多重背包）。
只要深刻理解了0-1背包、完全背包、多重背包等基本背包问题的核心思想，就可以将混合背包问题拆分成若干基本的背包问题来解决。

【算法代码】

#include 
using namespace std;
 
const int maxn=1010;
int c[maxn];
int n,V;
 
int main() {
	cin>>n>>V;
 
	for(int i=0; i
		int vol,val,nty;  //nty:number of types
		cin>>vol>>val>>nty;
 
		if(nty==0) {//Complete knapsack
			for(int j=vol; j<=V; j++)	c[j]=max(c[j],c[j-vol]+val);
		} else {
			if(nty==-1) nty=1;//01 knapsack is a special multiple backpack
			for(int k=1; k<=nty; k*=2) {//multiple backpack's binary optimization
				for(int j=V; j>=k*vol; j--)
					c[j]=max(c[j],c[j-k*vol]+k*val);
				nty-=k;
			}
 
			if(nty) {//multiple backpack
				for(int j=V; j>=nty*vol; j--)
					c[j]=max(c[j],c[j-nty*vol]+nty*val);
			}
		}
	}
 
	cout<
 
	return 0;
}
 
 
/*
in:
4 5
1 2 -1
2 4 1
3 4 0
4 5 2
out:
8
*/

【参考文献】
0-1背包问题_hnjzsyjyj的博客-CSDN博客
输出0-1背包问题的具体方案 ← 利用二维数组_hnjzsyjyj的博客-CSDN博客
HDU 2602: Bone Collector ← 0-1背包问题_hnjzsyjyj的博客-CSDN博客
0-1背包问题的一维数组优化解析_hnjzsyjyj的博客-CSDN博客
完全背包问题_hnjzsyjyj的博客-CSDN博客
完全背包问题的思路解析_hnjzsyjyj的博客-CSDN博客
HDU 1114：Piggy-Bank ← 完全背包问题_hnjzsyjyj的博客-CSDN博客
“恰好装满求最值”背包问题的初始化解析_hnjzsyjyj的博客-CSDN博客
多重背包问题 ← 规模小时可转化为0-1背包问题_hnjzsyjyj的博客-CSDN博客
洛谷 P1776：宝物筛选 ← 多重背包问题 二进制优化_hnjzsyjyj的博客-CSDN博客
分组背包问题_hnjzsyjyj的博客-CSDN博客
HDU 1712：ACboy needs your help ← 分组背包问题_hnjzsyjyj的博客-CSDN博客
潜水员 ← 二维费用的背包问题_hnjzsyjyj的博客-CSDN博客
二维费用背包问题的解题套路_hnjzsyjyj的博客-CSDN博客
二维费用的背包问题 ← 模板题_hnjzsyjyj的博客-CSDN博客
拆分整数为2的幂次项和 → 理解多重背包问题二进制优化的核心思想_hnjzsyjyj的博客-CSDN博客
混合背包问题 - 知乎